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XXXI. Relativität allgemein
Porträ (bearbeitet)
Fundctelle

Auf einer cnell rotierenden Kreisceibe vird mit gleixartigen Masctäben der Radius r unt der Umfang U des Kreizes gemessen. Ist v di Bangecvindigkeit auf dem Umfang, dan ist der Masctab dort um den Faktor γ mit γ²=1-v²/c² ferkürtst, värend der Masctab tsur Bectimmung des Radius keine Lorentzkontraktsion erfärt. Das Ergebnis der Messung U/r ist gröser als 2π, das heist, di euklidice Geometri gilt nixt allgemein in der Raumtseit.

Bei einer Zonnenfinsternis (Eddington 1919) können Cterne beobaxtet verden, di nax klassicer Astronomi hinter der Zonne ctehen. Das Lixt vird tsur Zonne hin apgelenkt. Das "Einsteinkreuts" tseigt eine massereixe Galaksis, di das Lixt eines dahinter ligende Kvazars zo aplenkt, das vir in firmal zehen. Dize Aplenkung des Lixts durx Gravitatsion maxxt es unmöglix, inn der Raumtseit eine gerade Linie entcprexxend der euklidicen Geometri füzikalic tsu definiren. Inn der nichteuklidicen Geometri trit di geodätice Linie an di Ctelle der Geraden. Nax dem Fermatcen Printsip nimt der Veg des Lixtes tsviccen tsvei Punkten XA unt XB der firdimenzionalen Raumtseit ein Minimum an, di Variatsion des raumtseitlixxen Lixtveges S fercvindet. Das bedeutet, der Lixtveg ist eine geodäötice Linie inn der firdimenzionalen Raumtseit.
Fundctelle



Veil es nixt möglix ist, allgemein einen räumlixxen Apctand d vi üblix durx d²=x²+y²+z² tsu definieren unt ebenzovenig einen raumtseitlixen Abctand s mit s²=c²t²-d², fürte Einstein 1915 bei der Begründung der Allgemeinen Relativitätsteori entcprexxend der nichteuklidicen Geometri das Linienelement ds ein, das ctets nur infinitezimal für lokale Koordinatenzüsteme definirt verden kann.

Das vird eingezetst inn (1)
(1)








(2)


Di gαβ bilden eine 4x4-Matriks Erzetst man gαβ durx μαβ, zo erhält man
(3)




Damit di Ferformung der Raumtseit durx Gravitatsionsfelder dargectellt verden kann, muss der metrice Tenzor gαβ zix fom Tenzor μαβ der cpetsiellen Relativitätsteori unterceiden unt ortsaphengig zein. Das clist ein, dass der Untercid tsviccen gαβ unt μαβ inn veiten Gebiten der Raumtseit gering ist oder azümptotic fercvindet. Dize Nähe tsviccen beiden Tenzoren fürt tsu einigen forläufigen Annamen, di aus der cpetsiellen Relativitätsteori übernommen verden:

a) di gαβ zint reelle Funktsionen der xα
b) gαβ ist zümmetric
c) für di Determinante g fon gαβ gilt g=-1
d) für di Determinante der Koordinatentransformatsionen tsviccen den lokalen Züstemen gilt |aαβ|=1
(4)



Füzikalice Grösen, di zix mit dem Ort inn der Raumtseit ändern, zint Invariante, vekseln aber ire Darctellung je nax dem, inn velxem Betsugszüstem zi dargectellt verden. Di fercidenen Darctellungen gehen bei Koordinatentransformatsionen inn einander über, vobei dize Transformatsionen eine matematice Gruppe bilden, zodas di Darctellung inn jedem Züstem eindeutig ist. Um inn der nixteuklidicen Geometri Naturgezetse tsu becreiben, reixen Vektoren unt Firervektoren nixt aus, dafür zint Tenzoren nötig. Matematice Grundlagen tsur Rexnung mit Tenzoren zint becriben inn Anhang T: Tenzoren der Raumtseit. Dort vird insbezondere imm Apcnitt Matritsen unt Tenzoren getseigt, dass di Matriks G einen kovarianten Tenzor darctellt unt vi der tsugehörige kontravariante Tenzor tsu bilden ist.


Di Euler-Lagrange-Gleixungen für di Variatsion (2), alzo di Bedingungen für eine geodätice Linie zint hergeleitet imm Anhang V: Geodätice Linie.


Inn anderer Formulirung: mitunt

(5)




(6)



Hir unt imm folgenden vird di Einsteince Zummenkonventsion angevendet, Firervektoren xμ verden imm folgenden one den hoxgectellten Indeks gecriben.

Tsviccen tsvei Punkten auf einer geodäticen Linie gibt es eine eindeutig bectimmte raumtseitlixxe Veglänge s, zodas jeder belibige Punkt XP durx di Veglänge tsu einem Fikspunkt X0 eindeutig bectimmt ist. Daher kann entlang einer Geodäten eine Funktsion φ( XP) als Funtsion φ(s) behandelt verden.


Bei der letsten Umformung vird Gleixung (6) eingezetst, veil Funktsion unt Apleitung auf der Geodäten ligen. φ, ψ unt 𝛘 zint Funktsionen fon s allein, zint alzo invariant gegenüber Änderungen des lokalen Koordinatenzystems, unt da di Faktoren dx/ds inn beiden Gleixungen belibig gevält verden können, folgt, dass der jeveils erste Faktor imm Ergebnis ein Tenzor ist.

Es istein kovarianter Tenzor 1. Grades unt ein kovarianter Tenzor 2. Grades
(7)








(8)


Aμν ist di "Erveiterung" fon Aμ. Dass eine zolxe Erveiterung bei jedem Firervektor tsu einem Tenzor 2. Grades fürt, vird inn Apleitungen fon Tenzoren getseigt. Eine Erveiterung auf einen kovarianten Tenzor dritten Grades erreixt man mit dem Produkt tsveier kovarianter Firervektoren unt ein kovarianter Tenzor tsveiten Grades kann erweitert verden, veil er inn ein Produkt tsveier kovarianter Firervektoren aufgeteilt verden kann.

(9)



Es ist das Tsil dizer Rexnung, eine einfaxxe Betsihung tsviccen den fercidenen Christoffelzümbolen Γ hertsuctellen. Datsu vird Aμν aus Gleixung (8) inn Gleixung (9) eingezetst. Man erhält einen kovarianten Tenzor dritten Grades Aμνσ unt veiter durch Fertaucen tsveier Inditses den Tenzor Aμσν.

Bei dizer Differentsbildung vurde - venn möglix - einige Male der Indeks ρ umbenannt inn τ. Veil di Christoffelzümbole zix nixt ändern, venn di unteren Inditses fertauct verden, fercvinden alle Zummanden der tsveiten Tseile unt di letsten beiden Zummanden inn der ersten Klammer. Das Ergebnis ist

mit
(14)


Veil Bμνσρ Aρ ein kovarianter Tenzor 3. Grades und Aρ ein kovarianter Firervektor ist, ist Bμνσρ ein gemiccter Tenzor 4. Grades (fergl. Produkte fon Tenzoren). Dizer Tenzor becreibt allgemein di Krümmung inn nixteuklidicen Geometrien, di insbezondere fon Bernhard Riemann imm 19. Jarhundert entvikkelt vurden. Velxe Art Raumkrümmung inn der füzikalicen Raumtseit gilt, op dafür der folle Tenzor Bμνσρ oder eine Cpetsializirung fon Gleixung (14) angebraxt ist, kann nur füzikalic entciden verden. Albert Einstein välte bei der Begründung der allgemeinen Relativitätsteori den Ricci-Tenzor Bμν, der aus dem Riemancen Krümmungtenzor durch innere Ferjüngung entcteht.

mit unt

Mit einer etvas umctändlixxen Nebenrexnung zoll getseigt verden, dass der Tenzor Sμν inn der Füzik außer Axt gelassen verden kann, zolange di oben gemaxxten Annamen gelten. Insbezondere vird angenommen, dass der metrice Tenzor zümmetric ist, zodas di Christoffelzümbole zich nixt ändern, venn di unteren Inditses fertauct verden. Trots der Annamen vird di Determinante g des Fundamentaltenzors tsunäxst als variabel angezehen unt unter der Vurtsel als als pozitiver Vert -g eingezetst; erst imm Endergebnis vird g=-1 eingezetst. Di Apleitung einer Determinante nax einem belibigen Eintrag ist ctets der Kvotsient aus der Determinante und dizem Eintrag.


Mit den Umbenennungen ν->α unt β->μ erhält manunt clislix Γρσσ unt Sμν fercvinden.


Es bleibt Rμν. Nax den Transformatsionsregeln fercvindet ein Tenzor inn allen lokalen Koordinatenzüstemen, venn er nur inn einem fercvindet. Venn daher inn einem Punkt der Raumtseit Rμν gleix Null ist, dan gilt inn dizem Punkt inn allen lokalen Koordinatenzüstemen

(22)


Dize gekoppelten Differentsialgleixungen erster Ordnung zint di Einsteincen Feldgleixungen für Vakuumgebite der Raumtseit.


Als Mitte des 19. Jarhunderts geklärt var, velxen Einfluss di gegenzeitige Massenantsihung der Planeten auf ire Banen hat, blib als unerklärter Rest eine Periheldrehung inn der Ban des Merkur fon 43" pro Jarhundert. Einstein tseigte 1915 mit einer Näherungsrexnung, dass di allgemeine Relativitätsteori dizen Rest erklärt. Di Masse des Merkurs ist gegenüber der Masse der Zonne fernaxlässigbar, zeine Gecvindigkeit ist gering gegenüber der Lixtgecvindigkeit unt zeine Ban bleibt inn einer Ebene. Di Zonne cteht ctill unt ir Mittelpunkt fällt mit dem Urcprung aller folgende Koordinatenzüstem tsuzammen. Es gilt
x0=c∙t unt g0i=gi0=0 für i=1,2,3 unt der räumlixxe Teil Gleixung (2) kann inn kartezicen Koordinaten gecriben verden.

(22)

Mit dizen Transformatsionen vird ds2 inn Kugelkoordinaten dargectellt.

Eine veiter Tranformatsion ist
(23)





(25)



(26)


Mit dizem Anzats gelang Karl Schwarzschild con 1915 di eksakte Lözung für di Periheldrehung des Merkur. Das Linienelement ist inn einem bezonderen sfäricen Züstem dargectellt. Di Matriks R der Transformatsion fom Züstem {x,y,z} tsum Züstem {r,φ,θ} ist gegeben durx di Gleixungen (23), di Matriks S für di Transformatsion fon {x1,x2,x3} nax {r,φ,θ} durx (25) unt für di Matriks T der Transformatsion fon {x,y,z} nax {x1,x2,x3} gilt T=RS-1. Da di Determinanten |R|=r²sinθ unt |S|=-r²sinθ zint, ist |T|=-1. Veil di Tseit nixt transformirt vird, ist di Anname (4d) erfüllt. Inn groser Entfernung fon der Zonne geht das Linienelement über inn das Linienelement ds² des flaxxen (nixt gekrümmten) Minkowskiraumes.


FürVeil nur di Diagonalelemente gαα ungleix 0 zint, folgt aus (4c)

Mit drei veiteren Annamen vird der Weg tsur Lözung fon (26) fereinfaxxt. a) Di tsvei letsten Zummanden verden durx di Raumkrümmung nixt ferändert.
b) f0 unt f1 zint allein fon x1, alzo aux nixt fon x0 aphengig.
c) Auser imm Urcprung, dem Ort der Masse, ist das Linienelement ctetig.

Damit vird der Anzatsmit
(28)




(29)




(30)



Da di letsten tsvei Zummanden imm folgenden keine Rolle cpilen, zint für di Gleixungen (5) unt (6) nur di Apleitungen fon f0 unt f1 nax x1 fon Bedeutung.


Ausfolgtalzo
Veiter gilt
Das ergibt
(34)

Nax den Feldgleixungen (22) giltveil aux Γ210=0 unt Γ310=0 zint.
Das bedeutetMit der Zupstitutsionvird
Das Ergebnis dizer ersten Integratsion mit der Konstanten α istMit Gleixung (30) folgt
Dis ist einfaxx tsu integriren mit einer tsveiten Integratsionskonstanten β. Es folgt

Venn x1 gegen unendlix geht, geht f0 gegen 1 geht. Daher muss β gleix eins zein.

für
(39)




Venn imm Gravitatsionsfeld der Zonne di Ban eines Körpers geringerer Masse entlang einer Geodäten ferläuft, dan kann di Konstante α durx Fergleix mit der Newtoncen Mexanik bectimmt verden. Dize Ban zoll imm Raum der Planeten ligen mit Bandaten imm dort üblixxen Ramen. Dan zint inn Gleixung (34) alle räumlixxen dx mit iren Forfaktoren klein gegenüber dx0=c∙dt. Auserdem kann ds=v∙dt mit näherungsveize konstantem v gezetst verden, vas bei der Bectimmung einer Konstanten geviss erlaubt ist. Es bleibt

mitEs folgt
Vegengilt für grose rEs folgt Ergebnis
(41)



G ist di Gravitatsionskonstante unt M di Masse der Zonne (fergleixe (17) imm Kapitel V. Himmelsmexanik). Naxdem mit den Gleixungen (39) unt (41) di Lözung für das Linienelement der Geodäten inn der gekrümmten Raumtseit unter Beaxtung aller Bedingungen unt Annamen gefunden ist, kann es one zolxe Bedingungen inn ein geeignetes Koordinatenzüstem, inn dizem Fall inn di üblixxen Kugelkoordinaten transformirt verden.


fürmit dem Schwarzschild-Radius
(43)



gαβ ist der metrice Tenzor inn Kugelkoordinaten.
Dizer Tenzor ctellt di Schwarzschild-Metrik dar.

Di Determinante ist -r4sin2θ, alzo ungleix -1.


Es mag veniger umctändlix ceinen, den Anzats fon forneherein inn Kugelkoordinaten tsu formuliren.
Tsur Lözung vären es dan aber nötig, di Feldgleixungen (22) inn Kugelkoordinaten tsu transformiren.


Da imm Linienelement (43) für r gegen unendlix di Faktoren fon c²dt² unt fon dr² gegen eins gehen, vird eine Ur, di di Tseit t misst, unt der Längenmasctab für r nixt durx di Masse M beeinflusst. Im Gravitatsionsfeld der Masse M gibt es dagegen eine tsveite Tseit τ unt einen tsveiten Radius ρ.

Imm Gravitatsionfeld der Zonne gilt für einen Planeten(Dilatatsion der Eigentseit τ) unt (Längenkontraktsion)

Veil ein Tseitintervall tsviccen tsvei Ereignissen nahe einer Masse geringer ist als es inn veiter Entfernung gemessen vird, ist di Frekvents des Lixtes nahe einer Masse größer als veit entfernt. Dieze gravitative Rotfercibung vurde 1911 fon Einstein vorhergezagt unt 1960 fon Pound unt Rebka eksperimentell imm Gravitatsionsfeld der Erde naxgevizen (Zi kann aux als Ferlust an potentsieller Energi des Fotons ferctanden verden (Kapitel XXV Fotonen)).

A