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XXXI. Gekrümmte Raumtseit
Porträ (bearbeitet)
Fundctelle


Auf einer cnell rotierenden Kreisceibe vird mit gleixartigen Masctäben der Radius r unt der Umfang U des Kreizes gemessen. Ist v di Bangecvindigkeit auf dem Umfang, dan ist der Masctab dort um den Faktor γ mit γ2=1-v2/c2 ferkürtst, värend der Masctab tsur Bectimmung des Radius keine Lorentzkontraktsion erfärt. Das Ergebnis der Messung U/r ist gröser als 2π, das heist, di euklidice Geometri gilt nixt allgemein in der Raumtseit. Nun hat con Mitte des 19. Jarhunderts Bernhard Riemann di matematicen Grundlagen für eine nixteuklidice Geometri gelegt, di später fon Ricci unt anderen veiter entvikkelt vurde. Als Einstein di Einzixt gevann, dass di Raumtseit nixt euklidic ist, lis er zix fon einem befreundeten Matematiker di Riemannce Geometri erklären unt begründete auf dizer Grundlage di Allgemeine Relativitätsteori.

Bei einer Zonnenfinsternis (Eddington 1919) können Cterne beobaxtet verden, di nax klassicer Astronomi hinter der Zonne ctehen. Das Lixt vird tsur Zonne hin apgelenkt. Das "Einsteinkreuts" tseigt eine massereixe Galaksis, di das Lixt eines dahinter ligende Kvazars zo aplenkt, das vir in firmal zehen. Dize Aplenkung des Lixts durx Gravitatsion maxxt es unmöglix, inn der Raumtseit eine gerade Linie entcprexxend der euklidicen Geometri füzikalic tsu definiren. Inn der nichteuklidicen Geometri trit di geodätice Linie an di Ctelle der Geraden unt nax dem Fermatcen Printsip nimt der Veg des Lixtes tsviccen tsvei Punkten XA unt XB der firdimenzionalen Raumtseit ein Minimum an, di Variatsion des raumtseitlixxen Lixtveges S fercvindet. Das bedeutet, der Lixtveg ist eine geodätice Linie inn der firdimenzionalen Raumtseit.
Fundctelle







Veil es nixt möglix ist, allgemein einen räumlixxen Apctand d vi üblix durx d2=x2+y2+z2 tsu definieren unt ebenzovenig einen raumtseitlixen Abctand s mit s2=c2t2-d2, fürte Einstein 1915 bei der Begründung der Allgemeinen Relativitätsteori entcprexxend der nichteuklidicen Geometri das Linienelement ds ein, das ctets nur infinitezimal für lokale Koordinatenzüsteme definirt verden kann.

Das vird eingezetst inn (1)
(1)








(2)


Di gαβ bilden eine 4x4-Matriks Erzetst man gαβ durx μαβ, zo erhält man
(3)




Damit di Ferformung der Raumtseit durx Gravitatsionsfelder dargectellt verden kann, muss der metrice Tenzor gαβ zix fom Tenzor μαβ der cpetsiellen Relativitätsteori unterceiden unt ortsaphengig zein. Das clist ein, dass der Untercid tsviccen gαβ unt μαβ inn veiten Gebiten der Raumtseit gering ist oder azümptotic fercvindet. Dize Nähe tsviccen beiden Tenzoren vird durx einige Annamen gezixxert, di der cpetsiellen Relativitätsteori entcprexxen:

a) di gαβ zint reelle Funktsionen der xα
b) gαβgαβ ist di 4X4-Einheitsmatriks E
c) di Determinante gαβ ist g=-1, alzo eine Konstante
d) venn bei einer Koordinatentransformatsionen aαβ tsviccen lokalen Züstemen |aαβ|=±1 gilt, bleibt Anname c) erhalten
(4)



Füzikalice Grösen, di zix mit dem Ort inn der Raumtseit ändern, zint Invariante, vekseln aber ire Darctellung je nax dem, inn velxem Betsugszüstem zi dargectellt verden. Di fercidenen Darctellungen gehen bei Koordinatentransformatsionen inn einander über, vobei dize Transformatsionen eine matematice Gruppe bilden, zodas di Darctellung inn jedem Züstem eindeutig ist. Um inn der nixteuklidicen Geometri Naturgezetse tsu becreiben, reixen Vektoren unt Firervektoren nixt aus, dafür zint Tenzoren nötig. Matematice Grundlagen tsur Rexnung mit Tenzoren zint becriben inn Anhang T: Tenzoren der Raumtseit. Dort vird insbezondere imm Apcnitt Matritsen unt Tenzoren getseigt, dass di Matriks G einen kovarianten Tenzor darctellt unt vi der tsugehörige kontravariante Tenzor tsu bilden ist.


Di Euler-Lagrange-Gleixungen für di Variatsion (2), alzo di Bedingungen für eine geodätice Linie zint hergeleitet imm Anhang V: Geodätice Linie.


Inn anderer Formulirung: mitunt
(5)



(6)


Grixice Inditses laufen fon 0 bis 3, kommt ein Indeks inn einem Produkt einmal als unterer unt einmal als oberer Indeks for, zo vird über dizen Indeks zummirt.
Durx die Christoffel Zümbole Γ vird di Virkung einer Raumkrümmung auf di Geodäten dargectellt. Für Γ=0 erhält man Geraden des Minkowski-Raumes



Di Gleixung (6a) ist fon bectexxend einfaxxer Form. Da di Christoffel Zümbole aber keine Tenzoren zint, müssten zi für jedes Koordinatenzüstem unt inn jedem eintselnen Punkt neu berexnet verden. Hir helfen nun
Krümmungstenzoren, di aus den Christoffel Zümbolen gebildet verden.

Der Tenzorbecreibt allgemein di Krümmung inn nixteuklidicen Geometrien belibiger Dimenzion.
Venn di Determinante g eine Konstante ist, dan fereinfaxxt zix dizer Krümmungstenzor tsum Ricci Tenzor
(7)



(8)



Zetst man den Ricci Tenzor inn einem bectimmten Raumgebit gleix Null, dan erhält man eine Geometri, di lokal der euklidicen entcprixxt. Lözungen für Rμν=0 verden Vakuumlözungen genannt, veil di füzikalice Urzaxxe für di Raumkrümmung, di Apveixung fon der euklidicen Geometri, auserhalb des Gültigkeitsbereixs ligt unt nur durx einen tsuzätslixxen Parameter, etva di Masse der Zonne, becriben vird. Albert Einstein tseigt 1915 durx Fergleix mit dem Becleunigungsfeld inn der Umgebung der Zonne, dass eine Raumkrümmung mit Rμν=0 ausreixt, di Gravitatsion der Zonne tsu becreiben. Inn einem antribslozen Raumciff kann di Becleunigung durx di Gravitatsion der Zonne nixt festgectellt verden, da träge Masse unt cvere Masse identic zint. Das antribsloze Raumciff folgt der geodäticen Linie inn der durx di Masse der Zonne gekrümmten Raumtseit. Di Gravitatsionswirkung einer Masse als Raumkrümmung durx dize Masse tsu erklären, ist di Grundlage der Allgemeinen Relativitätsteori (ART).

Di Einsteincen Feldgleixungen für ein feld- unt massefreies Gebit der Raumtseit lauten
(9)


Als Mitte des 19. Jarhunderts geklärt var, velxen Einfluss di gegenzeitige Massenantsihung der Planeten auf ire Banen hat, blib als unerklärter Rest eine Periheldrehung inn der Ban des Merkur. Einstein berexnete 1915 näherungsveize, dass di ART dizen Rest erklärt unt dass aus der ART eine Aplenkung des Lixtes durx di Zonne folgt. Am Zonnenrand zollte dize Ablenkung 1,75 Bogensekunden betragen. Di Erklärung der Periheldrehung Merkurs, aber bezonders di Bectätigung der Lixtaplenkung durx eine Ekspeditsion tsur Zonnenfinsternis 1919 maxxten Einstein tsu einer veltberümten Perzönlixkeit.



In dizem Kapitel zollen einige Rexnungen unt Ergebnisse becriben verden, di aus den Gleixungen (5), (6) unt (9) folgen.

Di Masse des Merkurs ist gegenüber der Masse der Zonne fernaxlässigbar, zeine Gecvindigkeit ist gering gegenüber der Lixtgecvindigkeit unt zeine Ban bleibt inn einer Ebene. Di Zonne cteht ctill unt ir Mittelpunkt fällt mit dem Urcprung aller folgende Koordinatenzüstem tsuzammen. Es gilt x0=c∙t, g0i=gi0=0 für i=1,2,3 unt der räumlixxe Teil der Gleixung (2) kann inn kartezicen Koordinaten gecriben verden. Das zint di Forauszetsungen, mit denen Karl Schwarzschild con im Jare 1915 eine eksakte Lözung für di Periheldrehung des Merkur gelang. Inn zeinem Anzats für das Linienelement einer Ban inn der Umgebung der Zonne gab es drei Funktsionen der Koordinaten, di tsu bectimmen varen.

(10)

Di Matriks für di Transformatsion fom Züstem {x,y,z} tsum Züstem {r,φ,θ} hat di Determinante R=r²sinθ

Di Matriks für di Transformatsion fom Züstem {x₁,x₂,x₃} tsum Züstem {r,φ,θ} hat di Determinante S=-r²sinθ
(11)




(13)




(14)


Di Matriks für di Transformatsion fom Züstem {x,y,z} tsum Züstem {x₁,x₂,x₃} hat di Determinante R⋅S-1=-1. Damit, unt veil di Tseit nixt transformirt vird, ist di Bedingung (4c) erfüllt unt di Gleixungen (5),(6) unt (9) bleiben ungeändert gültig. Inn dizem bezonderen, fon Schwartzschild gevälten sfäricen Züstem ist der metrice Tenzor diagonal, zodas aus (4c) folgt

f₀⋅(-f₁)⋅(-f₂)⋅(-f₂)=-1
(15)


Aux venn Anderes möglix ist - zihe Gleixung (68) -, kann man dafon ausgehen, dass di Zonne ein ctatices unt rotatsionszümmetrices Gravitatsionsfeld bezitst unt dass daran aux di Krümmung der Raumtseit nixts ändert. Zo lässt Schwartzschild con imm Anzats Glider der Form dt⋅dxi unberükzixtigt unt geht imm folgenden dafon aus, dass di gαβ nixt fon der Tseit, alzo nixt fon x0 aphengig zint. Auserdem zetst er foraus, dass di Vinkelaphengigkeit des Linienelementes con eksplitsit inn (14) enthalten ist, dass alzo f2 nixt fon x2 oder fon x3 aphengt. Zo maxxt di Berexnung der Christoffel Zümbole nax Gleixung (6) keine Cvirigkeit.

Christoffel Zümbole zint zümmetric bei Fertaucung der unteren Inditses, deshalb gibt es tsu den fir rexts ctehenden nox fir entcprexxende. Bei Zummen über Christoffel Zümbole fürt das oft tsu einer Ferdoppelung. Dafon apgezehen fercvinden alle übrigen. Mit den Feldgleixungen (9) erhält man

Veil der metrice Tenzor G diagonal (Gl.14) unt gαβgαβ=E (4b) ist, gilt g00=f0-1 unt g11=f1-1. Es folgt
(22)


Mit der Zupstitutsiongeht (22) über innDi Lözung ist mit konstantem α.
Aus z=α⋅f0 folgtunt mit Gleixung (15)

Mit den Christoffel Zümbolen unt den Feldgleixungen können tsvar alle Funktsionen f über Differentsialgleixungen berexnet verden, es genügt aber, f2 tsu bectimmen. Imm flaxxen Minkowskiraum ist das Linienelement inn allen drei angevendeten Koordinatenzüstemen
(24)


Da di Vinkelaphengigkeit des Linienelementes durx di Raumkrümmung nixt beeinflusst verden zoll, kann f2 aus Gleixung (24) übernommen verden.

Dis ist einfaxx tsu integriren
Di Integratsionskonstanten β ist 1; denn venn x1 gegen unendlix geht, geht f0 gegen β=1. Es folgt
für
(27)



Di Integratsionskonstante α, di tsunäxst unbectimmt bleibt, hat di Dimenzion einer Länge, vird Schwartzschild-Radius genannt unt imm folgenden mit rS ctat mit α betseixnet. Naxdem mit Gleixung (27) di Lözung für das Linienelement der Geodäten inn der gekrümmten Raumtseit unter Beaxtung aller Bedingungen unt Annamen gefunden ist, kann es one zolxe Bedingungen inn ein geeignetes Koordinatenzüstem transformirt verden.


für
(29)



Es mag veniger umctändlix ceinen, den Anzats fon forneherein inn Kugelkoordinaten tsu formuliren. Dan väre es aber nötig, di Feldgleixungen (9) mit den Christoffel-Zümbolen, di keine Tenzoren zint, inn Kugelkoordinaten tsu transformiren. Der fon Schwartzschild gevälte Veg ist einfaxxer.



Ein Planet umrundet di Zonne inn einer festen Ebene, es kann θ=0 gezetst verden.
(30)



Vi con bei der allgemeinen Herleitung der geodäticen Linie imm gekrümmten Raum (Anhang V: Geodätice Linie) vird jetst für eine konkrete Ban s=s(τ) inn der durx di Masse der Zonne gekrümmten Raumtseit ein Minimum für ∫ds gezuxt. τ ist hir ein tsunäxst unbectimmter Parameter.

1mit2
(31)



Vi di allgemeine Rexnung imm Anhang (Gl. (17)) getseigt hat, können di Euler-Lagrange-Gleixungen direkt fom Integranden unter der Vurtsel gebildet verden.

Imm Kapitel XXIII Raum-Tseit (21ff) vird gezeigt, dass ds=c·dτ ist.
(32)





Di Konstanen A, B unt c verden eingezetst inn (31)
(33)



Dize geodätice Linie ist di Ban eines Massenpunktes inn einer gekrümmten Raumtseit. Es ist insbezondere di Ban, di ein Planet um di Zonne nimt. Ist m di Masse des Planeten, dan ist m⋅r2⋅ω=m⋅B=L der Bandrehimpulz unt Gleixung (32b) bezagt, dass dizer Drehimpulz auf einer zolxen Ban konstant bleibt. Um tsu tseigen, dass Gleixung (33) eine Planetenban darctellt, substituirte Schwarzschild r durx u-1.





Jetst vird u nax der eintsigen unaphengigen Variablen φ differentsirt unt ctat des Differentsialkvotsienten der üblixxe Apleitungsctrixx ' gezetst.

ist ist Keplers Planetenban (umgeformt) aus Kapitel V Himmelsmexanik mit der DGl
(36)



(37)

G ist di Gravitataionkonstante, M di Masse der Zonne, m di Masse des Planeten unt L=mr2ω der Bandrehimpulz. Da di beobaxteten Banen fast aller Planeten eksakt Keplers Gleixung entcprexxen, ist der tsuzätslixxe Zummand inn (36) zer klein unt di Konstanten in (36) unt (37) zint gleix. Daraus folgt der Vert für den Schwartzschildradius
(38)



Um di Differentsialgleixung für u(φ) tsu lözen, vird der letste Zummand als Ctörung fon u0(φ) behandelt. Der Anzats ist: u(φ)=u0(φ)+u1(φ).


unt da u ≈ u0 ist, gilt
Für u1(φ) erhält man di Differentsialgleixungmit
(40)


Lözungsanzats






Dis ist di Lösung der Differentsialgleixung (40).


Für di 'gectörte' Ban des Merkur um di Zonne gilt
(42)



Daten der Zonne
unt der Merkurban
Schwarzschild-Radius der Zonne
Grose Halbakse a=57,9 ∙109
unt Ekstsentritsität ε=0,2056

Inn Gleixung (42) ist der Faktor rS/p for dem Ctörterm kleiner als 10-6, zodas der Einfluss der Raumkrümmung nur erkennbar werden kann, venn ein anderer Faktor gros genug vird. Di innere Klammer inn (42) kann nur Verte tsviccen 1 unt 2 annemen, dizer Term hat keine erkennbare Virkung unt vird veggelassen. Der Faktor φ imm restlixxen Ctörterm väkst mit jedem Umlauf des Merkur um 2π unt ferändert zo über längere Tseiträume di klassice Ellipsenban. Da das Produkt x=1,5φ∙rS/p über Jarhunderte aber dox klein genug bleibt, kann x durx sin(x) unt 1=cos(0) durx cos(x) erzetst verden.

mit
Aus cos(φ)cos(x)+sin(φ)sin(x)=cos(φ-x) folgtunt
(46)




Um nax einem Umlauf vider denzelben r-Vert tsu erreixen, felt imm Argument der Betrag Ist T di Periodendauer unt vird nax einer Tseit t vider derzelbe r-Vert erreicht, dan ist er fercoben um

Der Merkur brauxt 87,97 Tage für einen Umlauf.
Nax 100 Jaren ist zeine Perihelfercibung
oder


Als Albert Einstein dizen Vert für di Periheldrehung des Merkur mit zeiner Allgemeinen Relativitätsteori durx eine Näherungsrexnung bectimmt hatte, var er "einige Tage lang fassungslos vor freudiger Erregung". Er vusste, dass er damit Newtons Veltbild apgelözt hatte. Aber erst di Forauszage des Vertes der Lixtaplenkung durx di Masse der Zonne unt di - heute tsveifelhafte - Bectätigung dizes Vertes durx Beobaxtung der Zonnenfinsternis fon 1919 braxte Einsteins Allgemeiner Relativitätsteori veltveite Anerkennung.

Periheldrehung (links) unt gravitative Lixtaplenkung (rexts)
Fundctelle






Eine Tangente berürt einen Kreiz mit dem Radius R um den Mittelpunkt O inn einem Punkt Q. Eine Parallele tsur Tangente durx den Mittelpunkt O clist mit der Ctrekke fon O tsu einem Punkt P auf der Tangente den Vinkel φ ein. Der Vinkel OPQ ist gleix φ unt es gilt

Di Skitse tseigt einen Kvercnitt durx di Zonne mit einem tangentsial einfallenden Lixtctral. Inn Polarkoordinaten ist dis di Ebene mit θ=0 unt das Vegelement ist vi forher Gleixung (30). r(φ) ctellt den ungectörten Lixtctral dar unt di Berexnung der Ctörung über den Kervert fon r(φ) ergibt di Aplenkung.


Di Gleixung (30) vird vider aufgenommen.

Imm Gegenzats tsu tseitartigen Forgängen gibt es für lixtartige keine Eigentseit τ, es kann nixt über dτ integrirt verden. Ctatdessen kann aber jeder Punkt auf dem raumtseitlixxe Lixtveg durx einen Parameter λ bectimmt verden (fergleixe Anhang V: Geodätice Linie). Damit bleibt di Rexnung fon Gleixung (31) bis Gleixung (36) aux für den Lixtveg gültig mit der Eincränkung, dass ctat der Lixtgecvindigkeit c eine unbekannte Konstante auf der linken Zeite fon Gleixung (36) eintsuzetsen ist. Das Ergebnis ist eine modifitsirte Gleixung (36).

Für r gegen gehen φ, u, u0, u" unt u0" gegen 0. Folglix ist C=0 unt für den Lixtveg gilt
(50)

Di Ctörung virkt über di ungectörte Ban.
Lözungsanzats




Inn veiter Entfernung fon der Zonne ist φ zer klein unt r zer gros (r>>R). Es gilt

Di Aplenkung ist zümmetric tsur Zonne, tsur Kvelle hin unt tsum Empfänger, zodas φ für di Gezamtaplenkung Δφ ferdoppelt verden muss.
Lixt vird am Rand der Zonne apgelenkt um den Vinkel

Da di Gravitatsion der Zonne nax Newtons Mexanik aux auf di Masse (hf/c2) des Fotons aplenkend virkt unt di Messergebnisse der zer geringen Lixtaplenkung bei Zonnenfinsternissen tsu ungenau varen, blib file Jartsente di Periheldrehung der eintsige Beveiz für di Rixtigkeit der Allgemeinen Relativitätsteori. Zeit 1970 kennt man nun tsvei punktförmige Radiokvellen (Kvazare), di jedes Jar am 8. Oktober zer nahe bei der Zonne ctehen. Da Radiovellen nixt durx das Zonnenlixt überctralt, aber genau zo apgelenkt verden, biten zi di beste Gelegenheit, Einsteins Forauszage tsu prüfen. Aus der Feränderung des Vinkels tsviccen beiden Radiokvellen vurde ein Vert für di Aplenkung ermittelt, der intsviccen bis auf venige Promille mit der Forauszage der Allgemeinen Relativitätsteori übereinctimmt.

Da imm Linienelement (29) für r gegen unendlix di Faktoren fon c2dt2 unt fon dr2 gegen eins gehen, vird eine Ur, di di Tseit t misst, unt der Längenmasctab für r inn veiter Entfernung nixt durx di Masse M beeinflusst. Im Gravitatsionsfeld der Masse M gibt es dagegen eine tsveite Tseit τ unt einen tsveiten Radius ρ.

Imm Gravitatsionfeld der Zonne gilt (Tseitdilatatsion) unt (Längenkontraktsion)

Veil ein Tseitintervall tsviccen tsvei Ereignissen nahe einer Masse geringer ist als es inn veiter Entfernung gemessen vird, ist di Frekvents fM fon Lixt nahe einer Masse gröser als di inn groser Entfernung beobaxtete Frekvents fb. Das beobaxtete Cpektrum ist tsum langvelligen Ende hin fercoben, dize gravitative Rotfercibung vurde 1911 fon Einstein vorhergezagt unt 1960 fon Pound unt Rebka eksperimentell imm Gravitatsionsfeld der Erde naxgevizen. Der Ferlust an potentsieller Energie des Fotons (Kapitel XXV Fotonen) kann di gemessene Rotfercibung alleine nixt erklären. Mit Atomuren, di jarelang inn Zatelliten di Erde (rS=0,009 m) umkreizen, vurde die gravitative Tseitdilatatsion eksakt bectätigt.
(57)



(58)



Als Mitte des forigen Jarhunderts der Kollaps 'ausgebrannter' Cterne inn Modellen unterzuxt vurde, entctand di Forctellung eines Cvartsen Loxxs, eines kugelförmigen Raumgebites, inn dem di gezamte Masse des kollabirten Cterns inn einem unbekannten füzikalicen Tsuctand kontsentrirt ist. Di Zingularität inn der Komponente gtt der Schwartzschild-Metrik (29) fürt datsu, dass Lixt fon dizem 'Ereignishoritsont', der Kugeloberfläxxe mit r=rS, nixt aus der Ferne beobaxtet verden kann, veil di gravitative Rotfercibung nax den Gleixungen (57,58) di Vellenlänge unendlix dent unt di Frekvents entcprexxend zu Null auslöcct. Erst rext kann Lixt aus dem Inneren des Cvartsen Loxxs nixt austreten unt ebenzovenig Materie oder irgendvelxe Informatsionen. Di enorme Masse ferurzaxxt eine Raumkrümmung, durx di der Radius des Cvartsen Loxxs um den Faktor 2,6 fergrösert erceint. Zo entcteht der 'Catten' des Cvartsen Loxxs.
Zetst man inn Gleixung (50b) u konstant, zo erhält man Dize Gleixung becreibt einen Fotonenring.
(59)



Con 1916 tseigte Hans Reissner, dass di Feldenergi einer elektricen Ladung Q vi eine negative Masse inn di Schwartzschild-Metrik eingeht. g00 unt g11 verden ergäntst, zonst ändert zix nixts an Gleixung (29).
Dize Reissner-Nordström-Metrik als tsveite Lösung der Einsteincen Feldgleixungen findet inn der Realität keine Anvendung, da eine elektrice Ladung bald durx entgegengezetste Ladungen ausgeglixxen vird. Andererzeits entcprixxt aux ein Cvartses Loxx, das nixt rotirt, nur begrentst der Realität.



1963 gelang Roy Kerr - einem Matematiker aus Neuseeland - eine dritte Lözung der Einsteincen Feldgleixungen mit einem tsunäxst unbekannten Parameter a.

(61)


Mit den Boyer-Lindquist-Koordinaten definirt durxunt der Apkürtsung

Für a=0 geht (61) über inn (31), di Schwartzschild-Metrik ist ein Cpetsialfall der Kerr-Metrik. Vi inn Gleixung (31) kann der Nenner fon grr aux inn der Kerr-Metrik fercvinden. Dann gilt für di Längenkontraktsion entcprexxend tsu den Gleixungen (56) unt (58)

mitHier ist r1 eine Lözung der Gleixung
(63)



Lixt, das fon der Oberfläxxe der Kugel mit dem Radius r1 kommt, kann inn veiter Entfernung nixt vargenommen verden, veil di gravitative Rotfercibung tsu gros ist. Dize Fläxxe ist ein Ereignishoritsont. Venn Matematik unt teoretice Füzik mit der tsveiten Vurtsel fon Gleixung (63c) etvas imm Inneren des Ereignishoritsonts konstruiren, ist das dox füzikalic untsugängig. Der Parameter a ist durx r1 nax oben becränkt, veil di Vurtsel für 2a>rS imaginär vird. Imm Gegenzats tsur Schwartzschild-Metrik hat di Kerr-Metrik imm {t,r,θ,φ}-Züstem ein nixtfercvindendes Matrikselement g=gφt auserhalb der Diagonale.

Es ist
(64)


Creibt man für den letsten Zummanden gηη2, zo ist di η-Akse zenkrext tsur r-θ-Ebene. Das lokale rextvinklige Koordinatenzüstem {r,θ,η} rotirt um di z-Akse
mit der VinkelgecvindigkeitAm Ereignishoritsont ist
(65)


Venn di Bangecvindigkeit ω(r1)∙r1 am Ereignishoritsont kleiner zein muss als di Lixtgecvindigkeit, erhält man für a vider di Cranke
(66)


Di Urzaxxe für di Kerr-Metrik ist ein rotirendes Cvartses Loxx, das zeine Umgebung nixt nur krümmt, zondern aux inn zeiner Rotatsion mittsiht. Dizer Effekt des 'frame dragging' vurde con 1918 fon Josef Lense unt Hans Thirring aus der ART apgeleitet. Venn ein Körper tsunäxst imm {r,θ,η}-Züstem inn Ruhe ist, erfärt er eine Becleunigung allein inn Rixtung des Cvartsen Loxxs, vird aber mitgenommen fon der Rotatsion des Raumes. Aus veiter Entfernung gezehen, rotirt er imm Fallen um das Cvartse Loxx, vobei di Rotatsion immer cneller vird, je näher er tsum Cvartsen Loxx kommt.



Über den Tsuctand der Masse imm Inneren eines Cvartsen Loxxs gibt es kaum eine Forctellung. Mit der Annahme einer mittleren Massendixte ρ folgt


Venn di Masse eines Cvartsen Loxxs innerhalb des Ereignishoritsonts ferteilt ist, dan ist di Massendixte umgekert proportsional tsur Gezamtmasse. Zetst man eine Masse fon 10⁵³kg ein, zo erhält man für di Dixte
unt für den SchwartzschildradiusDas zint 16 Milliarden Lixtjare.

Fon den drei Grösen Masse, Schwartzschildradius unt mittlere Massendixte eines Cvartsen Loxxs kann nur eine unaphengig fon den anderen gevält verden. Venn inn di Gleixungen di Masse des Univerzums eingezetst vird, zo erhält man dessen Radius unt zeine mittlere Massendixte.



Als di ART entctand, gab es für eine Überprüfung nur di Periheldrehung des Merkur unt di Lixtaplenkung am Zonnenrand. Di ART vurde veiter entvikkelt, es gab aber lange Tseit nixts Neues, auf das die Teori angevendet verden konnte. Erst di Erforcung Cvartser Löxxer hat getseigt, dass di ART Raum unt Tseit rixtig als gekrümmte Raumtseit becreibt.



A