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XXIII. Raum-Tseit
Porträ (bearbeitet)
Fundctelle
Durx di Lorentz-Transformatsionen vird der dreidimenzionale Raum tsu einem firdimenzionalen Raum-Tseit-Kontinuum erveitert. Di Punkte inn dizem linearen Raum, der nax zeinem Entdekker Minkowski-Raum heist, ctellen Ereignisse dar, di an bectimmten Orten unt tsu bectimmten Tseiten (nixt notvendigerveize) ctatfinden. Minkowski-Diagramme zint Darctellungen inn einem tsveidimenzionalen Unterraum des Minkowski-Raumes, der durx di Relativgecvindigkeit v tsveier Inertsialzüsteme unt di Tseit t bectimmt ist. Ereignisse unterhalb der x-Akse gehören tsur Fergangenheit, darüber tsur Tsukunft. Ein Ereignis, das fom Urcprung her nur mit Lixtgecvindigkeit erreixt verden kann, heist lixtartig unt ein Ereignis, das mit einem Körper mit nixt fercvindender Ruhmasse erreixt verden kann, heist tseitartig.

Inn dizen Minkowski-Diagrammen ist c∙t als Ordinate aufgetragen ctat t, zodas der Masctab beider Aksen gleix gevält verden kann. Dan ligt der Veg (gelb) des Lixtes, das durx den gemeinzamen Urcprung der Inertsialzüsteme geht, bei jedem Züstem auf der Vinkelhalbirenden der Koordinatenaksen.

Das unzümmetrice Diagramm links tseigt ein Ruhzüstem (cvarts) mit rextvinkligen Aksen. Das rexte Diagramm ist zümmetric inn beiden Inertsialzüstemen. Es tseigt di paradokse Zümmetri fon Tseitdilatatsion unt Längenkontraktsion.

Es gibt keinen möglixxen Veg fom Urcprung inn
di blau craffirten Bereixe oder umgekert.

Eingetseixnet ist ein Ereignis E inn tsvei Inertsialzüstemen.
OA > OB unt OD > OE tseigen di
Zümmetri der Tseitdilatatsion.

OG < OF unt OI < OH tseigen di
Zümmetri der Längenkontraktsion.

Inn den Kapiteln XXI unt XXII vurde getseigt, dass alle gegenüber einer Masse, einem Masctab unt einer Ur bevegten Beobaxter di Masse als gröser, den Masctab als geringer (Längenkontraktsion) unt den Gang der Ur als langzamer (Tseitdilatatsion) beobaxten. Imm Ruhzüstem ist also di Masse am geringsten (Ruhmasse), der Masctab am längsten unt der Gang der Ur am cnellsten (Eigentseit). Imm linken Minkowski-Diagramm zint beide tsum Ereignis E gehörigen Aksenapcnitte imm Ruhzüstem (cvarts) gröser als imm bevegten Züstem (rot). Zovol das Tseitintervall tsviccen dem Ereignis imm Urcprung unt dem Ereignis E als aux di Ctrekke datsciccen zint imm Ruhzüstem gröser als imm bevegten Züstem. Der Faktor der Fergröserung ist immer γ unt der Faktor der Ferringerung 1/γ.

Imm Minkowski-Raum ℝ3+1 ist es imm Gegenzats tsum dreidimenzionalen euklidicen Raum ℝ3 nötig tsu unterceiden, op di Komponenten einer Gröse bei einer Koordinatentransformatsion zo vi di Koordinatenbazis (kovariant) ferändert vird oder entgegengezetst (kontravariant). Genaueres tsur Kovariants unt Kontravariants vird becriben im Anhang T: Tenzoren der Raumtseit. Für di fir Komponenten eines Vektors imm ℝ3+1 zint unter anderem hoxgectellte Inditses üblix, zodas das Produkt Komponente mal Bazisvektor di Form x1e1 hat. Da hir Potentsen der fir Komponenten immer als Produkt, alzo nixt mit Eksponenten gecriben verden, vird es nixt tsu Fervekslungen kommen.

Di kontravariante Form ist

Di kovariante Form ist
oder
(1)

(2)

Es gilt di Einsteince Zummenkonventsion: venn inn einem Produkt ein oberer Indeks mit einem unteren Indeks übereinctimmt, vird über alle Verte des Indeks di Zumme dizer Produkte gebildet.

Di Lorentz-Transformatsionenen (Kap.
XXI Gl. (12)) zint lineare Apbildungen des ℝ3+1 auf den ℝ3+1; es zint firdimenzionale Koordinatentransformatsionen, di durx 4X4-Matritsen Λ=Λ(v) dargectellt verden. Vird di x-Akse zo gevält, dass v=(v,0,0) ist, dan gilt
(4)



Rexnungen tsu Lorentztransformatsionen mit v=(v,0,0) können auf 2X2-Matritsen becränkt verden. Dis zoll eine Tilde antseigen.
Vi ervartet ist
Λ(-v) inverz tsu Λ(v).
(5)



Die Determinanten der Lorentztransformatsionen haben den Vert +1.

Vegen cosh² x - sinh² x = 1,
kann γ=cosh ζ gezetst verden.


Dis vird for allem inn den Anhängen gebrauxt.

Bei drei Inertsialzüstemen Σa, Σb unt Σc, deren Relativgecvindigkeiten parallel zint, zollen di Inditses 1, 2 unt 3 di Relativgecvindigkeit tsviccen Σa unt Σb, Σb unt Σc zovi tsviccen Σa unt Σc betseixnen. Venn di Transformatsionen nax einander ausgefürt verden, verden di Matritsen multiplitsirt.


Durx Fergleix erhält man Dis Ergebnis entcprixxt dem ersten Additsionsteorem der Gecvindigkeiten (Kapitel XXII, Gl. (19)). Veiter gilt

Di Multiplikatsion der Matritsen Λ(v1) unt Λ(v2) fürt tsur Matriks der ferketteten Lorentz-Transformatsion Λ(v3).

Imm ℝ3 vird der Apctand eines Punktes x fom Urcprung durch di kvadratice Form x2 bectimmt, di unferändert bleibt bei Drehungen des Koordinatenzüstems. Nun ist für den ℝ3+1 ein firdimenzionaler Apctand gezuxt, der entcprexxend bei Lorentztransformatsionen unferändert bleibt, 'lorentz-invariant' ist. Dass di einfaxxste Erveiterung c²t²+x² der kvadraticen Form nixt lorentz-invariant ist, geht nebenbei aux aus der folgenden Rexnung herfor.
Es zei Λ(v) qα=q'α. Dan gilt



Lorentztransformatsionen lassen di kvaderatice Form qαqα unferändert.

Es gibt einige untercidlixxe Schreibveizen für dize kvaderatice Form.
heist metricen Tenzor.
(13)



Lässt umgekert eine 4X4-Matriks T mit |T|=1 di kvadratice Form (13) ungeändert, dan folgt

a<0 bedeutet eine Umker der Tseit unt d<0 eine Raumcpigelung. Clist man beides aus, dan folgt aus ad=bc, dass b unt c das gleixe Fortseixen haben; aus b2=c2 folgt dan b=c unt daraus a=d. Auserdem soll gelten |T|=1=ad-bc=a2-b2. Damit cteht di Form fest, di eine 4X4-Matriks hat, wenn zi di kvadratice Form (13) unferändert lässt (unt veder Tseit nox Raum cpigelt). Es ist eine Lorentztransfomatsion mit v=c∙√(1-a-2)

Bei den Matritsen der räumlixxen Drehungen bleibt di Tseit unferändert unt damit aux di kvadratice Form.

Jede (reellvertige) Koordinatentransformatsion imm Minkowski-Raum, di di kvadratice Form (13) invariant lässt, ist eine
Lorentz-Transformatsion unt jede Lorentz-Transformatsion lässt di kvadratice Form eines Firervektors imm Minkowski-Raum unferändert.


Venn di Koordinaten eines Ereignisses, di inn einem belibigen Koordinatenzüstem des Inertsialzüstems A forligen, inn das Inertsialzüstem B umgerexnet verden zollen, kann das inn drei Critten gecehen. Tsuerst verden mit Drehmatritsen aus SO(3) di Ortskoordinaten umgerexnet inn ein Koordinatenzüstem fon A, inn dem di Relativgecvindigkeit tsviccen A unt B parallel tsur x-Akse ligt. Dan verden di Lorentztransformatsionen ("Loretz-boost") angevendet, zodas alle Koordinaten des Ereignisses inn einem cpetsiellen Koordinatenzüstem des Inertsialzüstems B forligen. Clislix verden di Ortskoordinaten inn ein belibiges Koordinatnzüstem fon B umgerexnet.

Di kvadratice Form (13) hat di Zignatur (3;1). In der Betseixnung für eine Gruppe fon Transformatsionen, di eine kvadratice Form bectimmter Zignatur unferändert lassen, vird dize Zignatur übernommen. O(3;1) heist Lorentzgruppe, di Determinanten irer Transformatsionsmatritsen haben den Betrag 1. O(3;1) becteht aus fir Komponenten, di topologisch nixt tsuzammenhängen, zondern nur durx Cpigelungen verbunden zint. Das neutrale Element der Gruppe kann nur inn einer der fir Komponenten ligen, nur dize Komponente kann eine Gruppe zein. Eine Untergruppe fon O(3;1) ist di eigentlixe Lorentzgruppe SO(3;1), deren Transformatsionsmatritsen di Determinante +1 haben. Inn SO(3;1) gibt es Elemente, di di Tseit umkeren. Keine Tseitumker gibt es in der Gruppe SO+(3;1)⊂SO(3;1), der eigenlich ortoxronen Lorentzgruppe, inn der a=Λ00>0 gilt (fergleixe oben!). Ortoxron bedeutet tseitrixtig, eine tsveite Betseixnung dizer Gruppe ist L+. Di eigentlix ortoxrone Lorentzgruppe vird imm Anhang L (Lie-Gruppen) becriben.

Da di fir Grösen - Tseit unt drei Raumkoordinaten -, di imm Minkowskiraum ℝ3+1 tsu einem Ereignis gehören, imm Gegenzats tsu den Koordinaten imm ℝ3 untercidlix behandelt verden müssen, können Begriffe nixt one weiteres übertragen verden. Deshalb verden hir di Begriffe Firervektor, Firerort (eines Ereignisses), Firergröse (Firerimpulz, Firerkraft, ...) unt Firernorm benutst. Der Firerort ist inn (1) unt (2) definirt unt di kvadratice Form (13) zoll di Firernorm einer Firergröse zein.

Di Firernorm fon xα ist
Der raumtseitlixxe Apctand s eines Ereignisses mit dem Firervektor xα fom Urcprung bectimmt zix aus der Firernorm fon xα. Es zint drei Fälle tsu unterceiden. s imaginär
r = c∙t
r < ct
keine kauzale Ferbindung
lixtartige Ferbindung
tseitartige Ferbindung

Inn Minkowski-Diagrammen begrentst di (gelbe) Lixtlinie das Gebit der Ereignisse, di mit dem Ereignis E0 imm Urcprung inn Vekselvirkung treten können. Dize Lixtlinie ist der Cnitt des räumlixxen doppelten Lixtkegels mit der x-t-Ebene. Der Urcprung trennt di Ereignisse des Lixtkegels der Fergangenheit, di als Urzaxxe für das Ereignis E0 inn Frage kommen, fon den Ereignissen des Lixtkegels der Tsukunft, di fom Ereignis E0 ferurzaxxt verden können.

Tsur Darctellung der Mexanik imm Minkowskiraum verden di Firervektoren einiger füzikalicer Grösen gezuxt. Um den Firerimpulz pα tsu bilden, muss di tseitartige Komponente p0 gefunden verden, mit der di Firernorm lorentz-invariant vird. Das gilt nax Gleixung (32) inn Kapitel XXII für

Daher zint der Firerimpulz unt zeine Firernorm

(20)


Divizion durx m ergibt di Firergecvindigkeit unt ire Firernorm

Ist τ di zogenannte Eigentseit, di eine Ur an einem festen Plats inn einem Ruhzüstem antseigt, unt t di Tseit inn einem Inertialzüstem, das zix mit der Relativgecvindigkeit v bevegt, dan gilt nax Gleixung (17) inn Kapitel XXI für den Tsuzammenhang der tseitlixen Apleitungen

Aux imm Minkowski-Raum zoll Newtons Definitsion der Kraft als tseitlixxe Apleitung des Impulzes gültig bleiben.
Es gilt
Di Firerkraft unt ire Firernorm zint
(25)


Ist di Kraft inn einem Ruhzüstem parallel tsur Relativgecvindigkeit, alzo F=(F,0,0), dan ist di loretz-invariante Firernorm gleix -F². Der Betrag der Kraft bleibt daher unferändert unt aus Zümmetrigründen kann keine Kraftkomponente entctehen, di nixt parallel tsur Reltivgecvindigkeit ist. Folglix ergibt di Messung einer Kraft F inn allen Inertsialzüstemen, deren Relativgecvindigkeit parallel tsu F ist, das gleixe Ergebnis.


Di Gleixung für di Bevegung einer becleunigten Masse fürt an di Grentsen der cpetsiellen Relativitätsteori. Als Beicpil zei eine Masse m momentan inn einem Inertsialzüstem inn Ruhe, das zix mit der Gecvindigkeit v=(v,0,0) gegenüber dem Ruhzüstem bevegt. Auf den Körper zoll eine Kraft F virken, di parallel tsur Relativgecvindigkeit v ist, zodas F inn dizen Inertsialzüstemen gleix ist. Jetst zint v unt γ nixt mer konstant, zondern Funktsionen der Tseit.

Veil F parallel tsur Relativgecvindigkeit ist unt deshalb inn allen Inertsialzüstemen unferändert bleibt, ist a=F/m konstant.
Mit t1=0 unt v1=v( t1)=0 erhält man für di Gecvindigkeit einer Masse m bei konstanter Kraft

Zolange a∙t klein bleibt gegen c, ist vi inn der klassicen Füzik v=a∙t. Vird der Vert fon a∙t fergleixbar tsu c, dan nähert zix v(t) vi ervartet azümptotic der Lixtgecvindigkeit, one zi übertreffen tsu können. Di veiteren Gleixungen für di relativistice Bevegung bei konstanter Kraft zint
Inn erster Ordnung (nax einer Reihenentvikklung für di Vurtseln) ctimmen dize Gleixungen alle mit den Gleixungen der klassicen Füzik überein.

Als Beicpil zoll eine Ekspeditsion tsum Ctern α Centauri durxgerexnet verden. Erde unt Ctern gelten als ruhend, ire Entfernung beträgt d=4,34 Lixtjare. Damit di Astronauten möglixst ctändig ir Erdgevixt cpüren, zorgt der Motor des Raumciffs für eine Becleunigung a=g. Auf halber Entfernung vird di Rixtung der Becleunigung umgekert, um das Raumciff aptsubremzen. Imm Züstem der Erde gilt für di Ereignisse C (Ctart) unt M (Mitte der Ctrekke erreixt):


Anders ferlaufen alle Forgänge aus der Zixt der Astronauten, dessen Ur di Tseit T antseigt. Das Raumciff ist tsvar kein Inertsialzüstem; trotsdem darf für di momentane (infinitezimale) Umrexnung tsviccen den Tseiten Gleixung (17), Kapitel XXI entcprexxend angevendet verden.
T(2,99a)=1,79a

Di gezamte Reize zetst zix tsuzammen aus fir gleix langen Etappen, venn eine möglixxe Aufenthaltsdauer unberükzixtigt bleibt. Bei irer Rükker zint dan di Astronauten um 7,15 Jare älter gevorden, värend auf der Erde 12 Jare fergangen zint. Venn das Tsil veiter entfernt ist, väkst diezer Untercid erheblix, veil dan ein gröserer Teil der Reize fast mit Lixtgecvindigkeit geflogen vird unt di Astronauten auf dizem gröseren Teil der Ctrekke zer langzam leben. Zo vürde eine Reize tsur Beteigeuze fon der Erde aus gezehen rund tauzend Jare, imm Raumciff dagegen 'nur' rund hundert Jare dauern.


Di Kontinuitätsgleixung (Kap. XIII, Gl. (1)) ferbindet di Ctromdixte j mit der Ladungsdixte ρ. Deshalb ligt es nahe, di Ladungsdixte ρ inn einem Firerctrom jα als tseitlixxe Komponente eintsuzetsen. Damit di rixtige Einheit entcteht, muss mit einer Gecvindigkeit multiplitsirt verden. Man zetst jα=(c∙ρ,j). Di folgende Rexnung tseigt, dass di Firernorm zix nixt ändert bei einer Lorentztransformatsion.






Aus dem Firerctrom erhält man di Kontinuitätsgleixung, indem man nax dem Firerort differentsirt.

Mit der Creibveizeerhält man
(33)


Der Firerctrom beinhaltet di Kontinuitätsgleixung unaphengig fom Inertsialzüstem. Di Creibveize kann als firdimenzionale Divergents angezehen verden.

Es ist unmöglix, das elektrice Feld E oder das Mangnetfeld B als Firervektoren dartsuctellen, veil di zeks Komponenten bei Lorentz-Transformatsionen inn einander übergehen. Ctatdessen verden für den ctatsionären Fall di drei räumlixxen Komponenten des Vektorpotentsials A mit dem elektricen Potentsial φ als tseitartige Komponente tsuzammengectellt. Damit di Dimenzionen gleix zint, vird φ durx c dividirt (Tm = N/A = J/As ∙ s/m).

Mit geeigneter Eixung der Potentsiale ist dize Firernorm lorentz-invariant.
(34)


Der Operatorkann als Erveiterung der Rotatsion gelten. Er ertseugt eine 4X4Matriks

Es ist Fαα=0 unt Fαβ=-Fβα, es gibt alzo nur zeks unaphengige Komponenten. Auserdem fercvinden bei einem ctatsionären Feld alle Apleitungen nax x0=c∙t.
Beicpile für di Berexnung der Matrikselemente:
Di Matriks des Feldctärketenzors inn kontravarianter Form ist
(37)



Der metrice Tenzor μ virkt imm Minkowskiraum vi eine Koordinatentransformatsion für den Übergang fon einer kontravarianten Form inn eine kovariante Form unt umgekert. Alles, vas zix - eventuell aux nur formal - als Firervektor creiben lässt, vird durx di Matriksmultiplikatsion mit dem metricen Tenzor fon der einen inn di andere Form überführt. Veil der metrice Tenzor tsu zix zelpst invers ist, ist μαβαβ

Für di kovarianten Formen der Potentsiale unt Feldctärken erhält manunt
unt di Matriks des Feldctärketenzors inn kovarianter Form ist


Venn ctat der Einsteincen Zummenkonventsion di Multiplikatsion fon Matritsen genutst vird, muss auf di Reihenfolge der Matritsen geaxtet verden.



Veil di Determinante des metricen Tenzors gleix -1 ist, gilt für di Determinanten der Feldctärketenzoren |Fαβ|=-|Fαβ|=|Fαβ|. Es ist

(44)


Dize Determinanten zint lorentz-invariant, da di Determinanten der Lorentztransformatsionen gleix eins zint. Auserdem gilt
Nax Gleixung (13) inn Kapitel XXII ist dizer Ausdrukk lorentz-invariant.
(45)



Venn imm dreidimenzionalen Raum eine Koordinatentransformatsion T durxgefürt vird, vird eine Matriks A nax der Regel A' = T A T-1 transformirt. Überträgt man das auf den Minkowski-Raum, zo erhält man für di Koordinatentransformatsion des Feldctärketenmzors















Dize Transformatsion des Feldctärketenzors Fαβ entcprixxt foll den Gleixungen (10) inn Kapitel XXII.


Venn ein unt dizelbe Funktsion f(t,r)=f'(t',r') aus tsvei Inertsialzüstemen beobaxtet vird, gilt für di Apleitungen









(55)


Venn für eine Funktsion f(t,x) gilt , dan gilt für dize Funktsion inn jedem Inertsialzüstem
Eine Velle mit der Lixtgecvindigkeit c ((22) Kap. XVIII) vird inn allen Inertsialzüstemen als Velle mit der Lixtgecvindigkeit c beobaxtet, es ändert zix aber durx den Doppler-Effekt di Frekvents f unt vegen c=λ∙f entcprexxend di Vellenlänge.



Der Firerort eines Ereignisses inn der Raum-Tseit kann inn untercidlixxer Veize dargectellt verden, nixt nur durx ko- unt kontravariante Firervektoren. Eine Möglixkeit ist, di nullte Komponente imaginär tsu creiben: (ict, r). Di Firernorm ist dan das Kvadrat -c²t²+r². Veiterfürend ist eine andere Darctellung. Aus dem Firerort (ct,x) bildet man eine hermitece 2X2-Matriks, deren Determinante gleix der Firernorm ist.
Erklärungen tsu Betseixnungen
imm Anhang: Lie-Gruppen
Umgekert kann jeder hermitecen 2X2-Matriks mit reellen a, b, d, e der Firerorttsugeordnet verden.
(57)




(58)

Dan giltDi Determinante ist vider gleix der Firernorm.

Di Darctellungen fon Ort unt Tseit eines Ereignisses imm Minkowskiraum durx Firervektoren oder durx hermitece 2x2-Matritsen zint gleixvertig. Di Firernorm eines Firervektors unt di Determinante der entcprexxenden hermitecen 2x2-Matriks ctimmen überein.

Um eine lineare Transformatsion hertsuctellen tsviccen einem Firervektor xα und der tsugehörigen Matriks ξ, zint drei hermitece 2x2-Matritsen σα unt di 2x2-Einheitsmatriks nötig.
Di fir Matritsen zint di Pauli-Matritsen
(60)




(61)


Umgekert giltvegen


Di Pauli-Matritsen cpilen eine vezentlixxe Rolle inn der Kvantenfüzik. Vi man ziht, haben zi ire Vurtseln inn der Raum-Tseit der cpetsiellen Relativitätsteori.

Zint ξ unt S tsvei reguläre Matritsen gleixer Dimenzion, dan ist Det(ξ S)=Det(S ξ)=Det(ξ)∙Det(S) unt (ξ S)T=STξT. Venn nun ξ hermitec ist,
dan gilt für de Apbildung
Für jede reguläre Matriks S fürt di Apbildung gS(ξ) vider tsu einer hermitecen Matriks unt, venn di Determinante fon S gleix eins ist, ctimmen di Determinanten fon ξ unt ξ'=gS(ξ) überein. Det(S)=1 bedeutet bei 2x2-Matritsen S∈SL(2,ℂ). Parallel tsur Apbildung gS, di inn der Algebra der hermitecen 2x2-Matritsen ξ auf ξ' apbildet, gibt es dan imm Minkowskiraum der Firenvektoren eine Apbildung ΓS, di xμ=½Sp(ξσμ) auf x'μ=½Sp(ξ'σμ) apbildet. ΓS ist eine Lorentztransformatsion unt zo vird eindeutig jedem S∈SL(2,ℂ) ein Element aus einer Teilmenge L fon L+ tsugeordnet. Venn es inn SL(2,ℂ) Elemente gäbe, denen Randelemente fon L tsugeornet vären, dan vären diese keine inneren Elemente fon SL(2,ℂ). Das ist aber nixt möglix, veil SL(2,ℂ) kompakt unt einfaxx tsuzammenhengend ist. Daher gibt es aux tsu jedem Element fon L+ mindestens ein Element inn SL(2,ℂ), dem es tsugeordnet ist. Beide Gruppen verden zurjektiv auf einander apgebildet. Veil aber g-S(ξ)=gS(ξ) ist, vird L+ durx SL(2,ℂ) tsveifaxx überdekkt.

Di Matritsen eines Produktes können aux unter der Cpur fertauct verden. Für di Apbildung gU(ξ) mit einer unitäre Matriks U∈SU(2)⊂SL(2,ℂ) gilt dan tsuzätslix

One Änderung der Tseit redutsiren zix Lorentztransformatsionen auf räumlixxe Drehungen. Den Elementen der Gruppe SU(2) verden di Elemente der Gruppe SO(3) tsugeordnet unt vegen g-U(ξ)=gU(ξ) vird SO(3) von SU(2) doppelt überdeckt.

Dize Ferflextungen der Transformatsionsmatritsen geben ein Bild fon der inneren Struktur der Raum-Tseit, das allerdings kaum oder nur cver tsur menclixxen Forctellung passt. Genaueres tsu dizen unt veiteren Gruppen findet man imm Anhang: Lie-Gruppen.
A