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XXI. Lorentz-Transformatsionen
Porträ (bearbeitet)
Fundctelle
 
1) Der Michelson-Ferzux

Als man Ende des 19. Jarhunderts di Lixtgecvindigkeit zer genau bectimmen konnte, entctand di Frage, velxe Urzaxxen di Lixtgecvindigkeit möglixxerveize ferändern könnten. Der Einfluss fon Medien (Vasser, Glaz) var bekannt, aber gab es aux imm Vakuum Einflüsse auf di Lixtgecvindigkeit, di auf di Vellennatur des Lixtes tsurüktsufüren varen? An einem Ciff, das auf Ze gegen di Vellen färt, laufen di Vellen cneller forbei als an einem Ciff, das mit den Vellen läuft: di fom Ciff aus gemessene Gecvindigkeit der Vellen ist fon der Fartrixtung des Ciffs abhängig. Genauzo zollte di 'Fartrixtung' der Erde durx den Raum Untercide inn der Lixtgecindigkeit tsur Folge haben. Michelson ferzuxte nun jarelang inn filen Eksperimenten, zolxe Untercide tsu finden. Tsu zeiner Enttäucung (unt di aller informirten Füziker) gelang dis nixt, opvol di Felergrentsen bei zeinen Ferzuxen deutlix eng genug varen, um di ervarteten Abveixungen festtsuctellen.

Bis dahin vurde als zelpstferctändlix angenommen, dass Ort x, Tseit t unt Gecvindigkeit u tsviccen tsvei Betsugszüstemen, di zix mit der Gecindigkeit v=(v,0,0) relativ tsu einander bevegen, zer einfaxx umtsurexnen zint.
Venn aber di Lixtgecvindigkeit inn allen Betsugszüstemen den gleixen Vert hat, dan können dize einfaxxen Umrexnungen nixt allgemein gelten: c'=c≠c-v
   (1)







2) Di Tseit ferläuft nixt immer gleix

Venn zix das Lixt immer mit der gleixen Gecvindigkeit ausbreitet unaphengig fon der Gecvindigkeit der Kvelle, des Empfängers oder eines Beobaxters, dan müssen di Gleixungen (1) - di zogenannten Galilei-Transformatsionen - grundzätslix inn Frage gectellt verden. Aux di Tseit darf dafon nixt ausgenommen bleiben. Venn dizelben Ereignisse aus fercidenen Betsugszüstem beobaxtet verden, müssen alle Variablen, di dize Ereignisse becreiben, tsunäxst untercidlix betseixnet verden. Di eintsige unt vezentlixxe Ausname ist di Lixtgecvindigkeit c, di immer den gleixen Vert hat (das Medium ist immer nur Vakuum).Inn einem Gedankeneksperiment vird Lixt tsur Kvelle tsurükgecpigelt. Lixtkvelle, Empfäger, Cpigel unt Ur zint inn einem Betsugszüstem inn Ruhe (Ruhzüstem), värend ein Beobaxter zenkrext tsum Lixtveg mit der Gecvindigkeit v forbei fligt. Es vird angenommen, dass Längen zenkrext tsu v unferändert gemessen verden (y'=y).

Imm Ruhzüstem
t1: Lixt ferlässt (0,0,0)
t2: vird inn (0,y,0) reflektirt
t3: erreixt vider (0,0,0)
t2-t1=t3-t2=Δt   unt   y=c∙Δt



Imm bevegten Züstem
t'1: Lixt ferlässt (x'1,0,0)
t'2: vird inn (0,y',0) reflektirt
t'3: erreixt (x'2,0,0)
t'2-t'1=t'3-t'2=Δt'
s'1=s'2=c∙Δt'

   (4)






Lässt man alzo tsu, dass di Tseit inn tsvei Betsugszüstemen untercidlix ferläuft (t’ ist nixt gleix t), dan folgt aus der Konstants der Lixtgecvindigkeit ein Untercid imm Tseitintervall tsviccen tsvei Ereignissen, venn dize aus fercidenen Betsugszüstemen beobaxtet verden. Veil di Konstante γ, di nur fon der Lixtgecvindigkeit unt der Relativgecvindigkeit der beiden Züsteme aphengt, gröser als eins ist, ist Δt' gröser als Δt: imm Ruhzüstem ist das Tseitintervall am kürtsesten (Tseitdilatatsion). Dize Bezonderheit des Ruhzüstems rürt daher, dass di Tseiten dort am gleixen Ort gemessen verden. Di Transformatsionsformel für di Tseit zollte deshalb aux einen Zummand mit der Ctelle x, an der di Tseit gemessen vird, enthalten.

Da tsu Anfang des 20. Jarhunderts zo geringe Tseituntercide kaum messbar cinen unt andererzeits di Forctellung einer apzoluten Tseit allgemein als zelpstferctändlix galt, vurde Einsteins Relativitätsteori meist als blose Teori apgetan. Intsviccen gibt es Gebite des täglixxen Lebens (Navigatsionsgeräte), vo one Berükzixtigung der Relativitätsteori Feler auftreten. Heute verden Tseit- unt Längenmessung auf atomare Forgänge tsurükgefürt, zodass es für filozofice Definitsionen einer apzoluten Tseit oder eines apzoluten Raumes keinen Bedarf mer gibt.



3) Das Ortsglid inn der Tseittransformatsion

Di cpetsielle Relativitätsteorie behandelt di Transformatsion der füzikalicen Grösen tsviccen tsvei Inertsialzüstemen, alzo tsviccen tsvei Betsugszüstemen, di nixt becleunigt zint, zondern zix mit konstanter Gecvindigkeit tsu einander bevegen. Di x-Aksen beider Züsteme zint regelmäsig gleixgerixtet unt parallel tsur Relativgecvindigkeit v=(v,0,0). Vi con imm letsten Apcnitt bleiben di Längen zenkrext tsu v unferändert, värend di Tseit auf einfaxxste Veize als ortsaphängig angenommen vird. Di Konstante α zei vi γ nur fon v unt c, aber nixt fon x oder t aphengig.

Eine Kvelle Q zendet ein Lixtzignal aus, dessen Ausbreitung entlang der x-Aksen tsveier Inertsialzüsteme beobaxtet vird. Alle Tseiten unt Koordinaten am Ort unt Tseitpunkt der Lixtauszendung zeien gleix Null. Di Kvelle bevegt zix belibig, zi muss nur imm Moment der Lixtauszendung imm dan gemeinzamen Koordinatenurcprung ligen.



Dize Formel ist nixt rixtig, vi imm näxsten Apcnitt getseigt vird. Zi ist eine Art Tsviccenergebnis.



4) Das Relativitätsprintsip unt di Lorentz-Transformatsionen

Imm Laufe der Gecixte hat man tsuerst di Erde als Mittelpunkt der Velt angezehen, cpäter di Zonne. Ende des 19. Jarhunderts vusste man, dass zix aux di Fikscterne bevegen, alzo aux di Zonne. Trotsdem blib das Bevusstzein fest ferankert, dass es einen ruhenden Raum geben müsse, inn dem zix di Himmelskörper bevegen. Inn dizem ruhenden Raum zollte zix das Lixt ausbreiten vi di Meresvellen über dem festen Meresgrund. Da ein Punkt der Erdoberfläxxe zix imm Laufe fon 24 Ctunden infolge der Erddrehung inn entgegengezetsten Rixtungen bevegt, hoffte man, aus untercidlixxen Lixtgecvindigkeiten etvas über dizen ruhenden Raum tsu erfaren. Das var Michelsons Tsil.

Aus dem unervarteten Ergebnis der Michelson-Ferzuxe tsog Einstein den Cluss, dass gar kein ruhender Raum eksistirt. Es gibt nur belibig file Inertsialzüsteme mit bectimmten Relativgecvindigkeiten, fon denen aber grundzätslix keines fon bezonderer Bedeutung ist (Relativitätsprintsip). Durx di Ferzuxsanordnung verden allenfalls di Betsihungen inn einem cpetsiellen Inertsialzüstem bezonders einfax. Di Naturgezetse gelten untercidsloz inn allen Inertsialzüstemen; um allerdings Beobaxtungen aus einem anderen Züstem als dem eigenen tsu ferctehen, muss man di Grösen rixtig umrexnen (transformiren).

Nax dem Relativitätsprintsip müsste di Gleixung (6) folgendermasen ergäntst verden.
     (6)




















     (7)

Di Gleixungen (6) unt (7) füren tsu einem Vidercpruxx.
Man ziht aber deutlix, dass nur ein Faktor γ felt.

Di Formeln für di Umrexnungen fon Ort unt Tseit eines Ereignisses, das aus tsvei Inertsialzüstemen beobaxtet vird, zint di Lorentstransformatsionen.

mit
Aus den Lorentz-Transformatsionen folgt, vennist, dan ist aux
Bei Anvendung der
Lorents-Transformatsionen
bleibt di Lixtgevindigkeit
inn allen Inertsialzüstemen
gleix.

  (12)












5) Lorentz-Kontraktsion, Tseitdilatatsion unt Gleixtseitigkeit

Erste Anvendungen der Lorentz-Transformatsionen tseigen, dass ein bevegter Gegenctand inn der Bevegungsrixtung verkürtst erceint. Dabei müssen Anfangs- unt Endpunkt des Gegenctandes imm Züstem des Beobaxters (x', t') gleixtseitig gemessen verden.

Dize Ferkürtsung aller Längen parallel tsur Relativgecvindigkeit v vird Lorentz-Kontraktsion genannt. Tseitintervalle verden, vi con becriben, gedent. Dabei muss der Ort imm Ruhzüstem (x, t) gleix bleiben.

Man cprixxt fon einer Tseitdilatatsion. Finden tsvei Ereignisse inn einem bectimmten Inertsialzüstem gleixtseitig an fercidenen Orten ctat, zo verden zi aus einem anderen Inertsialzüstem nixt als gleixtseitig vargenommen.

Di tseitlixxe Reihenfolge tsveier Ereignisse an fercidenen Orten kann zix - aus anderen Inertsialzüstemen beobaxtet - zogar umkeren.

Venn di tseitlixxe Änderung einer füzikalicen Gröse inn fercidenen Inertsialzüstemen ferglixxen verden zoll, brauxt man di Apleitung der Funktsion t'(t). Venn mit der Eigentseit einer Ur auf einem festen Plats inn einem herforgehobenen Inrtsialzüstem gerexnet vird, creibt man oft t(τ).
oder
  (17)




6) Der Dopplereffekt für Lixt

Eine Kvelle zendet Lixt der Frekvents f, alzo mit der Periodendauer Δt=T=1/f. Ein Beobaxter, der zix mit der Gecvindigkeit v fon der Kvelle entfernt, misst di Frekvents f'=1/T'. Di Tseit T' tsviccen tsvei auf einander folgenden Vellenmaksima vird berexnet aus der Dilatatsion des Tseitintervalls Δt =T unt der Fercpätung eines Maksimums, das einen um s=v∙Δt längeren Veg gegenüber dem forausgegangenen tsurükklegen muss.
Imm Züstem der Kvelle Umrexnung ins Züstem des Empfängers

  (19)


Vi imm nixtrelativisticen Fall nimmt di Frekvents bei einer Fergröserung der Entfernung ap, für Lixt bedeutet das eine Rotfercibung. Bei einer Annäherung tsviccen Kvelle unt Beobaxter bleiben Rexnung unt Ergebnis gleix, nur muss v durx -v erzetst verden.



7) Historices

Als Maxwell entdekkt hatte, dass elektromangnetice Ctralung zix als Velle mit Lixtgecvindugkeit ausbreitet, postulirte er 1878 ein Medium, Äter genannt, das imm Raum ruhen unt inn dem zix zovol das Lixt als aux dize Vellen ausbreiten zollten. Maxwell clug for, di Messungen fon Olaf Römer tsu viderholen unt zo mit den ferbesserten Messmetoden aus Unterciden in der Lixtgecvindigkeit di Gecvindigkeit der Erde gegenüber dem Äter imm Raum tsu bectimmen. Dizer Forclag feranlasste Michelson tsu zeinen (terristicen) Ferzuxen, di er 1881 begann unt bis 1929 unter ctändigen Ferbesserungen viderholte. Nax den ersten 'Felclägen' der Michelson-Ferzuxe clug FitzGerald 1884 eine Ferkürtsung der Längen fon Körpern bei der Bevegung durx den Äter for.

Um den Doppler-Effekt beim Lixt erklären tsu können, hat Voigt 1887 als erster ctat der Gallilei-Transfomatsionen Gleixungen benutst, mit denen aux di Tseit vi inn den Gleixungen (6) umgerexnet vird. Poincare betsveifelte 1889, dass di üblixxe Forctellung fon Gleixtseitigkeit notvendig zei. Als man began, di tsunemend genaueren Ergebnisse Michelsons ernst tsu nemen, maxxte Lorentz di gleixen Forcläge vi FitzGerald, one dessen Arbeiten tsu kennen. Clislix formulirte Larmor 1898 di heute zogenannten Lorentztransformatsionen (12) unt tseigte, dass zi di fon FitzGerald fermutete Ferkürtsung (13) tsur Folge haben.

1901 hilt Poincare den Äter für reine Cpekulatsion, lente di Forctellung einer apzoluten Tseit unt eines apzoluten Raumes ap unt postulirte das Printsip der Relativität. Anfang Juni 1905 nannte er es dan grundzätslix unmöglix, Bevegung gegenüber einem apzoluten Raum festtsuctellen. Etva fir Voxxen cpäter, Ende Juni 1905, ercin dan unter dem Titel "Zur Elektrodynamik bewegter Körper" di Arbeit Albert Einsteins, mit der er di Relativitätsteori begründete.
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