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X. Teilxen-Ctatistik
Porträ (bearbeitet)
Fundctelle
Der Tsuzammenhang tsviccen den makrofüzikalicen Grösen einer Materiemenge unt den Grösen der kleinsten Teilxen vird durx ctatistice Metoden hergectellt. Venn tsum Beicpil ein ideales Gaz bei konstanter Temperatur inn einem festen Volumen eingeclossen ist, kann di Gecvindigkeitsverteilung der Moleküle bectimmt verden. Datsu teilt man di möglixxen Energiverte inn k gleix grose Energiintervalle ΔWi ein mit der mittleren Energi Wi. Veiter zei Ni di Tsal der Atome mit einer Energi aus ΔWi, N di Antsal aller Atome unt W di Gezamtenergi. Di Tsal Ω der möglixxen Mikrotsuctände, vi di N Atome auf di k Intervalle verteilt zein können, vird mit den Metoden der Kombinatorik berexnet. Permutirt (fertauct) man alle N Atome mit einander, zo gibt es dafür N! Möglixkeiten. Veil aber di Permutatsion der Ni Atomen mit gleixer Energi tsu keinem anderen Mikrotsuctand fürt, müssen Ni! Möglixkeiten ausgenommen verden.


(1)


Am varceinlixsten ist der Makrotsuctand des Ensembels, tsu dem di meisten Mikrotsuctände, di meisten Möglixkeiten der Ferteilung der Atome gehören. Dizes Maksimum fon Ω ligt an derzelben Ctelle vi das Maksimum fon ln(Ω), unt für ln(N!) gibt es mit der Stirlingcen Formel eine zer gute Näherung: Da di Tsal N der Atome unt aux di Tsal Ni der Atome mit praktic gleixer Energi zer gros ist, kann ln(N!) gleix N∙ln(N)-N gezetst verden.



Es folgt ein matematicer 'Trik', mit dem hir di Nebenbedingungen (1b) unt (1c) hintsugefügt verden.

Beide Klammern zint Null!
(3)


Di Bedingungen für einen Ekstremvert fon Ω zint

Daraus folgt
(6)



Di Ferteilung Ni lässt zix allgemein aus der Tsuctandszumme Z herleiten
Aus der Tsuctandszumme Z lassen zix aux einige andere
termodünamice Grösen apleiten, tsum Beicpil di mittlere Energi der Teilxen
(7)



(8)


An dizer Ctelle kann man tsu kontinuirlixxen Grösen übergehen, w unt n(w) erzetsten Wi unt Ni unt ctat tsu zummiren vird integrirt.

Di Unbekannte β erhält man aus der Gezamtenergi.

Di mittlere Energi der Teilxen istDamit vird di Ferteilungsfunktsion
(11)


Di Moleküle eines einatomigen Gazes, das bei konstanter Temperatur inn einem festen Volumen eingeclossen ist, haben di mittlere kinetice Energi 1,5∙k∙T (Kap. IX, Gl. (15)). Dan gilt

Venn di oben genannten Forauszetsungen erfüllt zint, venn alzo di Teilxentsal N, das Volumen V unt di Temperatur T konstant bleiben, cprixxt man fon einem kanonicen Ensembel. Damit di Temperatur konstant bleibt, zoll di Umgebung, mit der ein Austauc fon Värme ctatfinden kann, di gleixe Temperatur haben (Värmebad) unt es darf keine Värme durx Umvandlung aus anderen Energiformen tsugefürt verden.


Für Teilxen, di zix gegenzeitig nixt beeinflussen, vird eine Ein-Teilxen-Tsuctandszumme aufgectellt. Zint di Energinivos dizer Teilxen äkvidistant
dan ist der Boltzman-Faktorunt di Tsuctandszumme ist
veil di Zumme eine geometrice Reihe darctellt.

Mit Gleixung (8) erhält man für di mittlere Energi
(14)



(15)




(16)


Inn dizer Rexnung ist an keiner Ctelle etvas ausgezagt über di Gezamttsal der Teilxen oder di Tsal der Teilxen mit bectimmten Energien. Di Ferteilung der Teilxen auf di Energinivos vird durx dize Ctatistik nixt eingecränkt. Es ist ein Beicpil für di Bose-Einstein-Ctatistik, mit der di Planckce Ctralungsformel erklärt vurde (Kap. XXV, Gl. (3)). Di äkvidistanten Energien mit der 'Nullpunktsenergi' inn Gleixung (14a), di den Ausgangspunkt der Rexnung bilden, entcprexxen den kvantenmexanicen Energien der Planckcen 'linearen Ostsillatoren' (Kap. XXVII, Gl. (15)) oder den Energien der Fotonen der Holraumctralung. Zetst man inn Gleixung (16) W=h∙f unt β=1/kT, zo erhält man für di mittlere Energi der Fotonen (fermindert um di Nullpunktsenergi)



Zubatomare Teilxen (unt nixt nur di) zint grundzätslix nixt unterceidbar. Das fürt gegenüber der klassicen Ctatistik tsu einer Ferminderung der möglixxen Mikrotsuctände, di tsu einem Makrotsuctand gehören. Venn tsum Beicpil tsvei Müntsen gevorfen verden, ist di Varceinlixkeit für das Ereignis KK - tseimal Kopf - 1/4, für TT - tseimal Tsal - ebenfalls 1/4 unt 1/2 für KT - eine Müntse tseigt Kopf unt di andere Tsal. Di Ununterceidbarkeit, di inn unzerer makrofüzikalicen Umgebung nixt denkbar ceint, vürde für dizen Müntsvurf nur tsu drei möglixxen Ereignissen füren, veil es keinen Untercid tsviccen KT unt TK gäbe, unt dize Ereignisse vären gleix varceinlix, alzo gleix 1/3. Venn auserdem ununterceidbare Teilxen gegenzeitig keinen Einfluss auf einander ausüben, kann vi imm forangegangenen Beicpil di Tsuctandszumme für ein Teilxen aufgectellt unt daraus di mittlere Energi aller Teilxen berexnet verden.

Es gibt inn der Füzik tsveierlei Ctatistiken für ununterceidbare Teilxen,
di Bose-Einstein-Ctatistik unt di Fermi-Dirac-Ctatistik,
unt alle zubatomaren Teilxen gehorxen genau einer dizer beide Ctatistiken. Entcprexxend dizer Einteilung verden zi benannt als
Bosonen oder Fermionen.

Fotonen zint Bosonen, Elektronen zint Fermionen. Dize zint dadurx karakterizirt, dass jeder möglixe Tsuctand höxstens fon einem Fermion bezetst verden kann. Venn allerdings Tsuctände, di unter bectimmten Bedingungen fercidene Energi haben, beim Felen zolxer Bedingungen tsuzammenfallen, können mer als ein Fermion dizen 'entarteten' Tsuctand bezetsen, alzo di Energi des Tsuctandes haben. Di Tsal der Tsuctände mit untercidlixxer Energi, inn di ein entarteter Tsuctand aufcpalten kann, ist zein Entartungsgrad. Ist Wi di Energi eines (entarteten) Tsuctandes, Gi zein Entartungsgrad unt Ni di Tsal der Fermionen mit der Energi Wi, dan darf Ni nixt gröser zein als Gi. Da es keine Rolle cpilt, velxes Fermion velxen Tsuctand bezetst, ist ein Mikrotsuctand allein dadurx bectimmt, vi file Fermionen Ni di Energi Wi bezitsen.
ist di Tsal der Möglixkeiten, mit Ni Fermionen di Gi 'Entartungsplätse' der Energi Wi tsu bezetsen.

Di Varceinlixkeit, das Gi-faxx entartete Energinivo Wi mit Ni Fermionen bezetst tsu finden, ist gleix ωi, veil alle Bezetsungen gleix varceinlix zint.
Das Produkt aller ωi ist di Varceinlixkeit, dass alle Mengen fon Ni Fermionen di tsugeordnete Energi Wi haben Daraus folgt



Vi inn Gleixung (3) verden tsvei Zummanden hintsugefügt, di gleix Null zint. Dan vird vider gezuxt, vo ln Ω einen Ekstremvert hat.




Di Bezetsungstalen unt di mittlere Energi zint


Ein Beicpil für di Anvendung der Fermi-Dirac-Ctatistik bitet das 'Elektronengaz', das fon den äuseren Elektronen der Metallatome gebildet vird. Dize Elektronen brauxen nur eine ferhältnismäsig geringe Energi, das zogenannte xemice Potentsial μ, um zix fon irem Atom tsu lözen. Mit dem ferbleibenden Rest irer Energi Wi-μ zint zi frei beveglix unt lifern den vezentlixxen Beitrag guten Leitfähigkeit der Metalle für Ctrom unt Värme.

Mit unterhält man für di Ferteilung der Elektronen

Bei allen Temperaturen zint genau di Hälfte der möglixxen Entartungsplätse für di Energi Wi=μ bezetst (Ni=Gi/2).

Bei tifen Temperaturen tseigt di Kurve eine carfe Apbruxxkante bei Wi=μ. Fast alle Elektronen zint gebunden.

Bei etvas höheren Temperaturen cmiltst di Kante.
Auf den gebundenen Plätsen höherer Energi felen einige Elektronen, di jetst frei beveglix zint.



Historices: Di Ferbesserung des Virkungsgrades fon Dampfmacinen vurde imm 19. Jarhundert begleitet fon füzikalicen Einzixten tsur Termodünamik. Sadi Carnot becrib di Umvandlung fon Värme inn Arbeit durx einen Kreizprotsess, bei dem gleixtseitig ein anderer Teil der Värme notvendig auf ein küleres Nivo übergeht. Rudolf Clausius formulirte den 2. Hauptzats der Värmelere, für den es einige untercidlixxe Formulirungen gibt, etva inn der folgenden Form:
Es gibt keine Tsuctandsänderung, deren eintsiges Ergebnis di Värmeübertragung fon einem Körper niderer auf einen Körper höherer Temperatur ist.
Clausius fürte den Begriff Entropi ein unt ctellte fest, dass inn einem izolirten termodünamicen Züstem di Entropiänderung dS gröser oder gleix als Null ist.
Di Ungleixung fon Clausius begründete Ludwig Boltzmann mit einer Betsihung tsviccen Entropi unt Varceinlixkeit
unt mit den Varceinlixkeiten zeiner 'atomisticen Teori' konnte Boltzmann dan di Ferteilungen (6/10) herleiten. Värend bei der angevandten klassicen Varceinlixkeitsrexnung unausgecproxxen forausgezetst vird, dass di Teilxen unterceidbar zint, haben Bose unt Einstein 1924 getseigt, dass Teilxen imm atomaren Bereix nixt unterceidbar zint unt velxe Konzekventsen dize Ununterceidbarkeit für di Varceinlixkeiten hat
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