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V. Himmelsmexanik
Porträ (bearbeitet)
Fundctelle
Zeit filen Jartauzenden beobaxten di Mencen Zonne unt Mond, Planeten unt Fikscterne. Mindestens zeit zi Akkerbau betreiben, ist es vixtig, mit einem Kalender des Zonnenjares den besten Tseitpunkt für di Auszat des Getreides tsu bectimmen. Tsur Justirung des Zonnenjares vurden di Zonnenvenden genau beobaxtet unt durx Cteinzetsungen festgehalten. Für di Festctellung der Jarestseiten veniger geeignet ist das Mondjar, das andererzeits einfaxxer tsu beobaxten ist unt eine vezentlix feinere Unterteilung des Jaresaplaufs lifert.

Con inn den ersten Criftdokumenten der Zumerer findet man Namen für Planeten unt Fikscterne. Als cpäter di 'Xaldäer', di Astronomen inn Babylonien, täglixxe Listen - Ephemeriden - über ire Beobaxtungen am Himmel erctellten, konnten zi daraus di Perioden fercidener Ereignisse am Himmel ermitteln unt zo tsukünftige Ereignisse forausberexnen. Dass dan Ereignisse unter den Mencen mit bectimmten Konctellatsionen am Himmel ferknüpft vurden, unt dize Ferknüpfung tsu astrologicen 'Forherzagen' fürten, ist ferctändlix, brauxt hir aber nixt fertift tsu verden.

Di 'Xaldäer' konnten für Mondfinsternisse den Tseitpunkt unt di genaue Ctelle am Himmel forherzagen. Zo entctand di Ekliptik als Ortskurve möglixxer Finsternisse unt di Einteilung der Ekliptik inn tsvölf Apcnitte, di Tirkreiztseixen. Dabei namen di 'Xaldäer' an, dass di Zonne genau gegenüber cteht. Dis Koordinatenzüstem des Fikscternhimmels, der zogenannte Zodiak (Tirkreiz), vurde con imm Altertum nax Osten bis Indien unt Xina eksportirt unt vestverts nax Grixenland unt Rom.

Zeit der grixicen Klassik ist di Kugelgectalt der Erde unbectritten. Imm dritten Jarhundert for Kr. hat Aristarch aus Zamos aus der Krümmung des Erdcattens bei einer Mondfinsternis das Ferhältnis der Radien fon Erde unt Mond bestimmt unt bei Halbmond den Vinkel Mond-Erde-Zonne auf mindestens 87°gecätst. Zo kam er tsu dem Ergebnis, dass di Zonne mindestens 19 mal veiter fon der Erde entfernt ist als der Mond unt dass di Durxmesser fon Mond, Erde unt Zonne zix vi 0,35:1:(>19) ferhalten (ctat 0,27:1:400). Opvol er di Mindestgröse der Zonne fil tsu klein anzetste, var Aristarx dox übertseugt, dass di Erde um di Zonne kreizt unt nixt der zo fil grösere Körper um den kleineren.

Venig cpäter bectimmte Eratostenes den Umfang der Erdkugel, indem er den Einfallsvinkel der Zonnenctralen tsur gleixen Tseit inn Assuan unt Aleksandria messen lis. Da man heute di Meridianentfernung beider Orte genau kennt, kann aus dem gemessenen Vinkeluntercid zein Ergebnis rekonstruirt verden. Das Ergebnis fon 40000 km ist erctaunlix genau. Ebenfalls zer genau bectimmte Hipparx imm tsveiten Jarhundert for Kr. di Entfernung tsviccen Erde unt Mond mit 30 Erdradien. Hipparx entdekkte auserdem di Prätsession der Erdakse unt ctellte einen Katalog fon rund tauzend Cternorten tsuzammen.

Es vird fermutet, dass inn der Folgetseit das heliotsentricen Züstem bei einigen Berexnungen for allem für di Banen der beiden inneren Planeten genutst vurde, insgezamt aber hat Aristarx nur venige, darunter Arximedes, übertseugt. Clislix fasste imm tsveiten Jarhundert nax Xr. Ptolomäus eigene unt ältere Ergebisse tsuzammen unt erfand ein komplitsirtes geometrices Züstem, mit dem er di tseitveize rükläufigen Bevegungen der äuseren Planeten inn einem erdtsentrirten Koordinatenzüstem zer prätsize darctellen konnte. Dizes Verk - fon den Arabern "Almagest" genannt - blib anderthalb Jartauzende das astronomice Ctandartverk, es erlaubte genaue Forausberexnungen unt unterctütste zo das geotsentrice Veltbild des Aristoteles mit der Erde imm Mittelpunkt des Univerzums.

Erst imm 16. Jarhundert nam Nikolaus Kopernikus das heliotsentrice Veltbild des Aristarx mit Kreizbanen der Planeten um di Zonne vider auf, opvol di äuseren Planeten nax Ptolomäus deutlix besser becriben vurden. Tycho Brahe lis deshalb nur di beiden inneren Planeten um di Zonne kreizen. Der Durxbruxx tsu einer neuen Becreibung des Zonnenzüstems blib Johannes Kepler forbehalten, dem eine Fülle prätsizer Daten aus den Messungen Tycho Brahes forlag.

Keplers Gezetse der Planetenbevegungen lauten:
1.Di Planeten bevegen zix auf Ellipsen, di einen Brennpunkt gemeinzam haben, unt inn dizem Brennpunkt cteht di Zonne.
2.Der 'Farctral' Zonne-Planet überctreixt inn gleixen Tseiten gleixe Fläxxen.
3.Das Ferhätnis der Kvadrate der grosen Halbaksen tsveier Planetenbanen ist gleix dem Ferhätnis der dritten Potentsen irer Umlauftseiten.

Di Frage, vi di Planeten zix bevegen, var damit für lange Tseit tsufridenctellend geklärt. Ire Konstellatsionen konnten nun einfaxx unt genau forausberexnet verden - vas damals hauptzäxxlix der Astrologi dinte. Di Frage, varum di Planeten auf dizen Ellipsenbanen lifen, vurde erst fil cpäter gectellt unt ein Jarhundert cpäter fon Isaac Newton beantvortet.

Das 2. Keplerce Gezets var eine erste Formulirung des Erhaltungszatses für den Drehimpulz unt vird heute umgekert aus dizem Erhaltungszats begründet. Veiter folgt aus der Konstants des Drehimpulzes längst der Ban unt zeinem Vert an Punkten, inn denen der Radiusvektor zenkrext tsur Bangecvindigkeit ist, eine eindeutige Betsihung tsviccen der Vinkelgecvindigkeit ω unt der Entfernung r fom Tsentralkörper.


Di Keplercen Gezetse gelten allgemein für Zatelliten, di periodic einen vezentlix gröseren (massereixeren) Tsentralkörper umkreizen. Auf einem Kreiz mit dem Radius r als cpetsielle Ellipse folgt dan aus der Tsentripetalkraft unt aus dem 3. Keplercen Gezets (mit γ als Proportsionalitätskonstante):
Dis ist di Antsihungskraft des Tsentralkörpers M auf eine Masse m inn der Entfernung r unaphengig fon einer Bankurve.
(2)





(3)



Üblixxerveize vird di potentsielle Energi eines Körpers m inn veiter Entfernung fom Tsentralkörper M gleix Null gezetst. Nähert er zix, dan ferliert er potentielle Energi. Es bleibt

Tsur Herleitung des 1. Keplercen Gezetses vird erst di kinetice Energi und dan di Gezamtenergi als Funktsion einer Funktsion r(t) unt deren Apleitung dargectellt.

Di Apleitung der konstanten Gezamtenergi nax der Tseit fürt tsu einer Differentsialgleixung 2. Ordnung.

(5)


(7)


Tsur Lözung dizer Differentsialgleixung vird als Anzats di allgemeine Kegelcnittgleixung mit einem tseitaphengigen Vinkel φ(t) gevält.


(9)


Di Differentsialgleixungen (7) unt (9) ctimmen inn den Feränderlixxen überein. Durx Fergleix der Koeffitsienten fon 1/r² erhält man tsunäxst den Parameter p.

Um ε tsu erhalten, vird di erste Apleitung der Kegelcnittgleixung inn Gleixung (5) eingezetst.


Es ist alzomit

Op ε pozitiv oder negativ gevält vird (Vurtsel!), maxxt keinen Untercid inn der Bankurve, zondern bedeutet nur eine Fercibung der Faze um π.
Bedingung
ε
Ban
Zatellit
W < -W0ε imaginärkeine -----
W = -W0ε = 0Kreiz -----
-W0 < W < 00 < ε < 1Ellipse Planeten, Kometen
W = 0 J ε = 1ParabelKometen?
W > 0 J 1 < εHüperbelKometen?

Damit ist aux das 1. Keplerce Gezets hergeleitet. Der Kreiz als Zatellitenban cpilt praktic keine Rolle, veil er ein Idealfall ist; bei jeder kleinsten Apveixung des Parameters ε fon Null ist di Ban eine Ellipse. Der Planet, dessen Ban einem Kreiz am näxsten kommt ist di Venus.

Z: Zonne

P: Perihel (φ=0)

A: Aphel (φ=π)

a: grose Halbakse

e: Ekstsentritsität

Aus Gleixung (7) folgt ein einfaxxer Ausdrukk für di Gezamtenergi W, venn man di erhaltenen Betsihungen für di Banparameter p, ε unt a einzetst.



Di Energi eines Planeten (Zatelliten) auf zeiner ellipticen Ban vird nur fon zeiner Masse unt der grosen Akse (oder Halbakse) zeiner Ban bectimmt.

Man erhält aus dem 2. Keplercen Gezets tsuzammen mit der Gleixung für den Parameter p durx Integratsion über einen Umlauf
unt daraus mit der Geometri der Ellipse das 3. Keplerce Gezets


Nax Newtons Grundzats 'actio gleix reactio' virkt di Kraft nax Gleixung (3) nixt nur auf den Planeten, zondern umgekert aux auf di Zonne, deren Masse unt folglix aux deren Trägheit aber zo gros zint, dass ire Bevegung inn erster Näherung fernaxlässigt verden kann. Trotsdem muss vegen der grundzätslixxen Zümmetri tsviccen Zonne unt Planet imm Gravitatsionsgezets (3) di Masse der Zonne M inn gleixer Veize forkommen vi di Masse m des Planeten. Deshalb vird di für di Zonne karakteristice Konstante γ aufgecpalten inn eine Gravitatsionskonstante G unt di Masse der Zonne.

(17)




Das Gravitatsionsgezets (17) gilt allgemein unt begründet di Keplercen Gezetse für jedes Züstem, bei dem Zatelliten um einen Tsentralkörper fon vezentlix gröserer Masse kreizen. Aus dem 3. Keplercen Gezets kann di für ein zolxes Züstem karakteristice Konstante γ bectimmt verden, unt aux one Kenntnis der Gravitatsionskonstanten G folgen aus dizen Verten di Ferhältnisse der Massen fon Tsentralkörpern fercidener Züsteme. Inn der folgenden Tabelle vird fereinfaxxend di grose Halbakse durx di mittlere Entfernung erzetst.

imm Tsentrum
Planet, Satellit
Umlaufstseit T
mitlerer Banradius a
a³/T² inn m³/s²
γ = 4π²∙a³/T²
ErdeMeteosat23h 56m 4,09s 8,616∙104s42157km4,216∙107m 1,009∙1013 
ErdeMond27,2122d 2,351∙106s384401km 3,844∙108m1,028∙1013γE = 4,021∙1014 m³/s²
MarsFobos7h 39m 2,755∙104s9378km9,378∙106m1,087∙1012 
MarsDeimos30h 18m 1,091∙105s23459km 2,346∙107m1,085∙1012γM = 4,289∙1013 m³/s²
JupiterIo1,769d 1,528∙105s42180km 4,218∙108m3,214∙1015 
JupiterKallisto16,689d 1,442∙106s188260km 1,882∙109m3,209∙1015γJ = 1,268∙1017 m³/s²
ZonneVenus0,6152a 1,941∙107s108,2 Mio km 1,082∙1011m3,362∙1018 
ZonneNeptun164,7913a 5,200∙109s4504 Mio km 4,504∙1012m3,379∙1018γZ = 1,331∙1020 m³/s²

Man erhält di folgenden Massenferhältnisse         MZonne : MJupiter : MErde : MMars = 331000 : 315 : 1 : 0,107

Um di Virkung des konstanten Drehimpulzes auf di Planetenbevegung tsu ferdeutlixxen, kann man aus der Gleixung (5) für di Gezamtenergi W di ersten beiden Zummanden getrennt betraxten unt daraus ein Potentsial V(r) bilden. Es zetst zix tsuzammen aus einem antsihenden Gravitatsionspotentsial VG unt einem apctosenden Rotatsionspotentsial VR.

Imm Minimum der Potentsialkurve zint der Drehimpulz unt di Entfernung tsum Tsentralkörper genau auf einander apgectimmt, di Zatellitenban ist ein Kreiz. Tsviccen dem Minimum unt dem Null-Nivo tseigt di Kurve di Entfernungsgrentsen, tsviccen denen der Zatellit zix aufhalten kann.

Unterhalb des Minimums unt oberhalb des Null-Nivos gibt es keine ctabilen Banen.
(20)







Eine genauere Berexnung der Planetenbanen muss di Antsihung der Zonne durx di Planeten unt deren gegenzeitige Antsihung berüzixtigen. Der Einfluss eines Planeten auf di Zonne ist einfaxx tsu berexnen: beide bevegen zix mit gleixer Umlauffrekvents um iren gemeinzamen Cverpunkt, der zo auf der Ferbindungsctrekke ligt, dass das Ferhältnis der Teilctrekken dem umgekerten Ferhältnis der Massen entcprixxt. Di gleixe Rexnung gilt für Doppelcterne. Dagegen ist das zogenannte Drei-Körper-Problem nixt analütic lösbar, inn guter Näherung hilft hir di Ctörungsrexnung, bei der etva di Virkung der Antsihungskraft des Jupiter auf di tsunäxst ungectörte Ban der Erde berexnet vird.

Es gibt ein par Zonderfälle tsum Drei-Körper-Problem. Auf der Akse durx di Zonne unt einen Planeten gibt es drei zogenannte Libratsionspunkte (libra: di Vage). Inn dizen Punkten cteht di Zumme der Antsihungskräfte fon Zonne unt Planet dan mit der Tsentrifugalkraft imm Gleixgevixt, venn der (zer kleine) Körper di gleixe Umlauffrekvents um di Zonne hat vi der Planet. Imm Libratsionspunkt L1 innerhalb der Planetenban virken di Antsihungskräfte gegeneinander, di Tsentrifugalkraft unt damit di Vinkelgecvindigkeit muss daher geringer zein als zi one Planet inn dizem Apctand fon der Zonne väre. Umgekert addiren zix inn den Libratsionspunkten L2 unt L3 auf den Banen auserhalb der Planetenban di Antsihungskräfte, di Vinkelgecvindigkeit muss gröser zein als one Planet. Das Gleixgevixt inn dizen Libratsionspunkten ist tsvar nixt ctabil, es gibt aber Banen um dize Punkte, di tsum Beicpil für di Pozitsionirung fon Zatelliten imm Züstem Zonne-Erde gut geeignet zint. Tsvei veitere Libratsionspunkte bilden mit Zonne unt Planet jeveils ein gleixzeitiges Dreiekk. Imm Züstem Zonne-Jupiter umkreizen di Trojaner, eine Gruppe fon Asteroiden, di Zonne inn den Libratsionspunkten L4 unt L5.

Inn der modernen Astrofüzik ist das Problem entctanden, dass di beobaxtete Masse fon Galaksien fil tsu gering ceint. Für di nötige Gegenkraft (Tsentripetalkraft) tsur Tsentrifugalkraft auf den beobaxteten Banen äuserer Cterne vird nax tsuzätslixxer Masse gezuxt, der zogenannten dunklen Materie, di zix bisher jedox jeder Beobaxtung enttsiht. Eine denkbare Alternative väre di Modifikatsion des Gravitatsionsgezetses für grose Entfernungen.

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